MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 272

Ze wzoru na pole wyznaczamy $\sin\gamma$, a następnie uwzględniamy dwa możliwe znaki cosinusa.

a) $\sin\gamma=3/5$, więc $\cos\gamma=\pm4/5$. Twierdzenie cosinusów daje $c=2\sqrt{13}$ lub $c=6\sqrt5$. b) $\sin\gamma=2\sqrt2/3$, więc $\cos\gamma=\pm1/3$ i $c=\sqrt{41}$ lub $c=9$.

Z twierdzenia cosinusów wyznaczamy cosinus kąta między danymi bokami, a z tożsamości $\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$ jego sinus.

a) $\cos\gamma=\sin\gamma=\sqrt2/2$, więc $P=3/2$. b) $\cos\gamma=3\sqrt5/10$, $\sin\gamma=\sqrt{55}/10$, więc $P=\sqrt{11}/2$.

Stosujemy wzory na przekątne równoległoboku $d_{1,2}^2=a^2+b^2\pm2ab\cos\gamma$. a) Szukana przekątna ma długość $2\sqrt{19}$. b) Dwie przekątne mają długości $5$ oraz $2\sqrt{13}$.

Niech sąsiednie boki równoległoboku mają długości $a,b$. Z danych o przekątnych i kącie korzystamy z równań $d_{1,2}^2=a^2+b^2\pm2ab\cos\gamma$.

a) Równość boków daje romb o przekątnych $6$ i $2\sqrt7$. b) Otrzymujemy boki $6$ i $2$, kąty $60^\circ$ i $120^\circ$ oraz przekątne $2\sqrt{13}$ i $2\sqrt7$.

Mamy $XP=7$ m oraz $XA=XB=6$ m. Stok tworzy z poziomem $10^\circ$, więc kąty między pionowym $XP$ a półprostymi $XA,XB$ mają odpowiednio $100^\circ$ i $80^\circ$. Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy

Kąt $\delta$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $ABD$. Jest więc równy sumie dwóch nieprzyległych kątów wewnętrznych: $\delta=\alpha+\angle ABD.$ Ponieważ $\angle ABD>0$, otrzymujemy bezpośrednio $\delta>\alpha$.