MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 271

Dla największego kąta obliczamy cosinus. Środek okręgu opisanego leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego, na boku trójkąta prostokątnego i na zewnątrz trójkąta rozwartokątnego.

a) $\cos=1/4>0$; b) $\cos=-29/48<0$; c) $\cos=-3/4<0$; d) $\cos=0$.

Dla boków $5,6,7$ największy kąt $\gamma$ spełnia $\cos\gamma=(25+36-49)/60=1/5$. Mediana do boku $6$ ma z twierdzenia Apoloniusza długość $\frac12\sqrt{2\cdot5^2+2\cdot7^2-6^2}=2\sqrt7$. Z wzoru Herona, przy $s=9$, pole jest równe $6\sqrt6$. Następnie

Dla boków $4,5,6$ twierdzenie cosinusów daje $\cos\alpha=(25+36-16)/(2\cdot5\cdot6)=3/4$. Z twierdzenia sinusów $\sin\beta=(6/4)\sin\alpha$. Ponieważ $2\cos\alpha=3/2$, mamy $\sin\beta=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha,$ co dowodzi żądanej zależności kątów.

Sprawdzamy cosinus największego kąta, leżącego naprzeciw najdłuższego boku. Kolejno otrzymujemy $1/7$, $0$, $-1/16$ i $-1/48$. Dodatni cosinus oznacza trójkąt ostrokątny, zero prostokątny, a ujemny rozwartokątny.