MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 268

Podstawiamy dane do twierdzenia cosinusów.

a) $c^2=16+3-8\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=7$. b) $a^2=25+18-30\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=13$. c) $c^2=4+36-24\cos120^\circ=52$. d) $b^2=12+16-16\sqrt3\cos150^\circ=52$.

Dla kąta ostrego $\cos\gamma=3/5$, a dla rozwartego $\cos\gamma=-3/5$. Zatem $c^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cos\gamma.$ Otrzymujemy odpowiednio $c^2=64$ oraz $c^2=208$.

Kwadraty przekątnych równoległoboku są równe $a^2+b^2\pm2ab\cos\gamma$. Po podstawieniu:

a) $28$ i $76$; b) $8$ i $40$; c) $19$ i $49$; d) $52$ i $148$.

a) Ponieważ $a=b$, mamy $\alpha=\beta$. Z $c^2=2-2\cos\gamma=2+\sqrt3$ wynika $\cos\gamma=-\sqrt3/2$, czyli $\gamma=150^\circ$ i $\alpha=\beta=15^\circ$.

b) Dla boków $\sqrt2,2,1+\sqrt3$ twierdzenie cosinusów daje kolejno kąty $30^\circ,45^\circ,105^\circ$.

Korzystamy ze wzoru $\cos\beta=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)$. a) $\cos\beta=1/2$, więc $\beta=60^\circ$. b) $\cos\beta=-\sqrt2/2$, więc $\beta=135^\circ$.

Obliczamy cosinusy kątów z trzech boków.

a) Najdłuższy bok $6$ spełnia $6^2=(2\sqrt3)^2+(4\sqrt3)^2$, więc kąty mają $30^\circ,60^\circ,90^\circ$; odpowiednio $\alpha=30^\circ,\beta=90^\circ,\gamma=60^\circ$.

b) Dla boków $\sqrt6,2\sqrt3,3+\sqrt3$ otrzymujemy kąty $30^\circ,45^\circ,105^\circ$.

Stosujemy wzór cosinusów dla każdego kąta.

a) $\cos\alpha=7/8$, $\cos\beta=11/16$, $\cos\gamma=-1/4$, stąd $\alpha\approx28{,}96^\circ$, $\beta\approx46{,}57^\circ$, $\gamma\approx104{,}48^\circ$.

b) Dla kąta naprzeciw boku $7$ mamy $\cos\gamma=-1/2$, zatem $\gamma=120^\circ$. Pozostałe kąty wynoszą w przybliżeniu $21{,}79^\circ$ i $38{,}21^\circ$.

a) Niech krótszy z danych boków ma długość $x$, a dłuższy $3x$. Wtedy $49=x^2+9x^2-6x^2\cos60^\circ=7x^2$, więc $x=\sqrt7$.

b) Analogicznie $441=x^2+16x^2-8x^2\cos120^\circ=21x^2$, więc $x=\sqrt{21}$.

Przekątna $AC$ dzieli kąt $BAD=60^\circ$ na dwa kąty po $30^\circ$. W trójkącie $ABC$ z $AB=8\sqrt3$, $AC=6$ otrzymujemy $BC=2\sqrt{21}$. Ponieważ $AB\parallel CD$, w trójkącie $ACD$ kąt przy $C$ ma $30^\circ$; z zależności kątowych i twierdzenia cosinusów wynika $AD=CD=2\sqrt3$. Sumując cztery boki dostajemy $8\sqrt3+2\sqrt{21}+4\sqrt3$.