MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 269

Niech trzeci bok ma długość $x$. Z twierdzenia cosinusów tworzymy równanie kwadratowe.

a) Otrzymujemy $x^2-8x+15=0$, więc $x=3$ lub $x=5$. b) Otrzymane równanie ma ujemny wyróżnik, więc taki trójkąt nie istnieje.

Z danych i twierdzenia cosinusów powstaje równanie kwadratowe dla boku $c$. Ma ono dwa dodatnie pierwiastki $c=3\sqrt2+\sqrt6\quad\text{lub}\quad c=3\sqrt2-\sqrt6.$ W pierwszym przypadku kąty wynoszą $30^\circ,45^\circ,105^\circ$, a w drugim $30^\circ,135^\circ,15^\circ$.

W każdym podpunkcie najpierw wyznaczamy brakujący bok z twierdzenia cosinusów, a potem kąty.

a) $a=6$ i kąty $45^\circ,45^\circ,90^\circ$. b) $c=2\sqrt2$ i $(\alpha,\beta,\gamma)=(45^\circ,105^\circ,30^\circ)$. c) Powstają dwa trójkąty: $c=2\sqrt3$ z kątami $75^\circ,60^\circ,45^\circ$ albo $c=3-\sqrt3$ z kątami $105^\circ,60^\circ,15^\circ$. d) $b=4$, $\alpha=120^\circ$, a pozostałe kąty wynoszą około $40{,}9^\circ$ i $19{,}1^\circ$.