Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 265

rozdział 5. Planimetria · temat „5.10. Twierdzenie sinusów” · 7 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 5

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Niech wysokość drzewa będzie równa hh. Długości cieni dla kątów 30∘30^\circ i 40∘40^\circ to odpowiednio hctg⁡30∘h\operatorname{ctg}30^\circ oraz hctg⁡40∘h\operatorname{ctg}40^\circ. Z warunku h(ctg⁡30∘−ctg⁡40∘)=12h(\operatorname{ctg}30^\circ-\operatorname{ctg}40^\circ)=12 otrzymujemy h=123−ctg⁡40∘≈22,2 m.h=\frac{12}{\sqrt3-\operatorname{ctg}40^\circ}\approx22{,}2\ \text{m}.

Odpowiedź

Wysokość drzewa wynosi około 22,222{,}2 m.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla okręgu o promieniu 66 każdy bok ma długość 12sin⁡12\sin kąta przeciwległego.

a) γ=75∘\gamma=75^\circ, więc obwód

=3(3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6).$$ b) $\gamma=15^\circ$, zatem $$12(\sin30^\circ+\sin135^\circ+\sin15^\circ) =3(2+\sqrt2+\sqrt6).$$
Odpowiedź

a) 3(32+23+6)≈30,473(3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6)\approx30{,}47 cm; b) 3(2+2+6)≈17,593(2+\sqrt2+\sqrt6)\approx17{,}59 cm.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z rysunku BP=xBP=x, PA=yPA=y, BC=aBC=a, CA=bCA=b. W trójkącie BCPBCP twierdzenie sinusów daje xa=sin⁡(γ/2)sin⁡∠BPC.\frac{x}{a}=\frac{\sin(\gamma/2)}{\sin\angle BPC}. W trójkącie ACPACP analogicznie yb=sin⁡(γ/2)sin⁡∠APC.\frac{y}{b}=\frac{\sin(\gamma/2)}{\sin\angle APC}. Kąty BPCBPC i APCAPC są przyległe, więc ich sinusy są równe. Prawe strony obu równości są zatem jednakowe.

Odpowiedź

Udowodniono równość xa=yb\frac{x}{a}=\frac{y}{b}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 9

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z trzech wzorów na pole otrzymujemy absin⁡γ=acsin⁡β=bcsin⁡α.ab\sin\gamma=ac\sin\beta=bc\sin\alpha. Dzielimy wszystkie wyrażenia przez abcabc:

=\frac{\sin\alpha}{a}.$$ Wszystkie wielkości są dodatnie, więc po odwróceniu ułamków dostajemy $$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta} =\frac{c}{\sin\gamma}.$$
Odpowiedź

Wyprowadzono twierdzenie sinusów z trzech wzorów na pole.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 10

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z twierdzenia sinusów c/sin⁡γ=2Rc/\sin\gamma=2R, zatem sin⁡γ=c/(2R)\sin\gamma=c/(2R). Podstawiamy tę wartość do wzoru na pole:

=\frac12ab\cdot\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}.$$
Odpowiedź

Udowodniono wzór P=abc4RP=\frac{abc}{4R}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 11

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Funkcja sinus jest ściśle rosnąca dla kątów ostrych. Z α>β\alpha>\beta wynika więc sin⁡α>sin⁡β\sin\alpha>\sin\beta. Twierdzenie sinusów daje ab=sin⁡αsin⁡β>1,\frac ab=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}>1, czyli a>ba>b.

Odpowiedź

Bok aa jest dłuższy od boku bb.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 12

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a) Trójkąt równoboczny o boku 66 ma promień okręgu opisanego R=23R=2\sqrt3. Kąt PACPAC jest kątem wpisanym opartym na cięciwie PCPC, więc

=\frac{3\sqrt2+\sqrt6}{4\sqrt3} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$ b) Punkty leżą na okręgu w kolejności $A,P,B,C$. Z twierdzenia Ptolemeusza $$AP\cdot BC+PB\cdot AC=AB\cdot PC.$$ Ponieważ $AB=BC=AC=6$, po skróceniu otrzymujemy $AP+PB=PC$.
Odpowiedź

a) sin⁡∠PAC=6+24\sin\angle PAC=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}; b) ∣AP∣+∣BP∣=∣CP∣|AP|+|BP|=|CP|.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem