MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 264

a) Bok $a=BC=3$ leży naprzeciw $\alpha=60^\circ$, a $c=AB=\sqrt6$. Zatem $\sin\gamma=c\sin\alpha/a=\sqrt2/2$. Wariant $135^\circ$ odpada, więc $\gamma=45^\circ$, $\beta=75^\circ$.

b) $a=9$, $b=3\sqrt6$, $\alpha=120^\circ$. Stąd $\sin\beta=b\sin120^\circ/a=\sqrt2/2$. Możliwy jest tylko $\beta=45^\circ$, a wtedy $\gamma=15^\circ$.

Korzystamy z zależności $a/\sin\alpha=2R$.

a) $2R=10/\sin120^\circ$, więc $R=10\sqrt3/3$. b) Szukany bok ma $2R\sin135^\circ=12\cdot\sqrt2/2=6\sqrt2$. c) Kąt wierzchołkowy ma $150^\circ$. Jeśli podstawa ma długość $a$, to $2R=a/\sin150^\circ=2a$, zatem $R=a$.

Jest to przypadek niejednoznaczny SSA. Dla wyznaczonego sinusa kąta sprawdzamy zarówno kąt ostry, jak i jego dopełnienie do $180^\circ$.

a) $\sin\beta=5/6$: $(\beta,\gamma,c)\approx(56{,}4^\circ,93{,}6^\circ,5{,}99)$ lub $(123{,}6^\circ,26{,}4^\circ,2{,}67)$. b) $\sin\beta=10\sin45^\circ/8$: odpowiednio $(62{,}1^\circ,72{,}9^\circ,10{,}82)$ lub $(117{,}9^\circ,17{,}1^\circ,3{,}31)$. c) $\sin\beta=10\sin60^\circ/9$: odpowiednio $(74{,}2^\circ,45{,}8^\circ,7{,}47)$ lub $(105{,}8^\circ,14{,}2^\circ,2{,}55)$. d) $\sin\alpha=\sin45^\circ/2$ daje tylko $\alpha\approx20{,}7^\circ$, $\gamma\approx114{,}3^\circ$, $c\approx2{,}58$; kąt dopełniający nie mieści się z $\beta=45^\circ$.

Z twierdzenia sinusów $R=a/(2\sin\alpha)$ dla dowolnej znanej pary bok--kąt przeciwległy.

a) $R=4/(2\sin135^\circ)=2\sqrt2$. b) $\alpha=180^\circ-107^\circ-43^\circ=30^\circ$, więc $R=7$. c) $R=10/(2\sin135^\circ)=5\sqrt2$. d) $R=7/(2\sin120^\circ)=7\sqrt3/3$. e) Z $\beta=30^\circ$, $\alpha=4\gamma$ i sumy kątów mamy $\gamma=30^\circ$, $\alpha=120^\circ$, więc $R=\sqrt3$. f) $\gamma=90^\circ$, zatem $R=11/2=5{,}5$.