MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 26

Rozpatrujemy definicję wartości bezwzględnej po obu stronach punktu $x=-1$.

a) Dla $x\ge-1$ mamy $x+2=\frac12x^2$, skąd dopuszczalne $x=1+\sqrt5$. Dla $x<-1$ mamy $-x=\frac12x^2$, skąd $x=-2$.

b) Dla $x\ge-1$ równanie $x+2=\frac14x^2$ daje dopuszczalne $x=2+2\sqrt3$. Dla $x<-1$ równanie $-x=\frac14x^2$ daje $x=-4$.

W każdym podpunkcie dzielimy oś w punkcie, w którym zeruje się wyrażenie pod wartością bezwzględną, rozwiązujemy dwa równania kwadratowe i sprawdzamy warunek danego przypadku. Po odrzuceniu niedopuszczalnych kandydatów zostają:

a) $\pm2$; b) $-4,1,2$; c) $0,4$; d) $0,5$; e) $1,3$; f) $2,6$.

Rozpatrujemy osobno znaki wyrażeń pod wartością bezwzględną.

a) Dla $x\ge-2$ rozwiązujemy $x^2-x-2\ge0$, a dla $x<-2$ $x^2+x+2\ge0$; po połączeniu dostajemy $x\le-1$ lub $x\ge2$.

b) Dla $x<4$ mamy $x^2+2x-8<0$, czyli $-4<x<2$; przypadek $x\ge4$ nie daje rozwiązań.

c) Dla $x<1$ otrzymujemy $2x^2+x-4\ge0$, a dla $x\ge1$ $2x^2-9x+6\ge0$. Łączymy części zgodne z założeniami.