MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 25

Zrównujemy wartości funkcji.

a) $x^2=2x^2$, więc $x=0$. b) $\frac12x^2=x^2-4$, więc $x^2=8$. c) $\frac14x^2=\frac12x^2-1$, więc $x^2=4$. d) $x^2-1=-2x^2+2$, więc $x^2=1$.

Rzędne wyznaczamy przez podstawienie znalezionych argumentów.

Zrównujemy prawe strony i rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe:

a) $2x(x-2)=0$; b) $x(x-2)=0$; c) $-3x(x+2)=0$; d) $4(x+1)(x+2)=0$; e) $-\frac54x(x-4)=0$; f) $\frac12x^2+x-3=0$, więc $x=-1\pm\sqrt7$.

Następnie podstawiamy każdy argument do jednego z równań.

Liczba punktów wspólnych jest liczbą rzeczywistych rozwiązań równania $f(x)=g(x)$.

a) $2x^2-8=0$ ma dwa rozwiązania. b) $(x+1)^2=0$ ma jedno rozwiązanie. c) $2x^2-6x+7=0$ ma $\Delta=-20$, więc nie ma rozwiązań. d) $x^2-x-1=0$ ma $\Delta=5$, więc ma dwa rozwiązania.

Najpierw ograniczamy całkowite wartości $x$, dla których dolna granica leży niżej od górnej, a potem zliczamy całkowite $y$.

a) $x^2-1\le-x^2+1$ daje $x=-1,0,1$. Dla $x=\pm1$ jest po jednym punkcie, a dla $x=0$ trzy — razem 5. b) $x^2-4<\frac12x^2-2$ daje $x=-1,0,1$. Dla każdego są dwa dopuszczalne całkowite $y$ — razem 6. c) Warunek zgodności daje $-3<x<0$, więc $x=-2,-1$; dla każdego są cztery całkowite $y$ — razem 8.