MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 259

Dla sześciokąta foremnego $R=a,\qquad r=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad P=\frac{3a^2\sqrt3}{2}.$ Podstawiając kolejno dane z tabeli otrzymujemy:

a) Z każdego wierzchołka sześciokąta wychodzą przekątne do $6-3=3$ wierzchołków. Każdą przekątną liczymy w ten sposób dwa razy, więc jest ich $6\cdot3/2=9$.

b) W $n$-kącie z każdego wierzchołka można poprowadzić $n-3$ przekątnych. Iloczyn $n(n-3)$ liczy każdą z nich z obu końców, dlatego liczba przekątnych wynosi $\frac{n(n-3)}2=\frac12n^2-\frac32n.$

Kąt środkowy oparty na jednym boku ośmiokąta ma $45^\circ$, więc każdy kąt przy wierzchołku $A$ pomiędzy przekątnymi do dwóch kolejnych wierzchołków ma $22{,}5^\circ$. Korzystając z sumy kątów trójkąta i symetrii otrzymujemy trzy pary trójkątów:

• $ABC$ i $AHG$: $22{,}5^\circ$, $135^\circ$, $22{,}5^\circ$;
• $ACD$ i $AGF$: $22{,}5^\circ$, $112{,}5^\circ$, $45^\circ$;
• $ADE$ i $AFE$: $22{,}5^\circ$, $90^\circ$, $67{,}5^\circ$.

Łączymy środek okręgu z kolejnymi wierzchołkami ośmiokąta. Powstaje osiem przystających trójkątów o dwóch bokach długości $1$ i kącie między nimi $45^\circ$. Pole jednego wynosi $\frac12\sin45^\circ=\sqrt2/4$, więc pole ośmiokąta to $8\cdot\sqrt2/4=2\sqrt2$.

Bok ośmiokąta jest cięciwą opartą na kącie środkowym $45^\circ$. Z twierdzenia cosinusów $a^2=R^2+R^2-2R^2\cos45^\circ=R^2(2-\sqrt2).$ Stąd

Promień do środka boku dzieli trójkąt środkowy na dwa trójkąty prostokątne. Przy kącie $22{,}5^\circ$ przy środku przeciwległa przyprostokątna ma $a/2$, a przyległa $r$. Zatem $r=\frac a2\operatorname{ctg}22{,}5^\circ.$ Ponieważ $\operatorname{tg}22{,}5^\circ=\sqrt2-1$, mamy $\operatorname{ctg}22{,}5^\circ=\sqrt2+1$.

Środek wielokąta, środek jednego boku i jego koniec tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $R$ i przyprostokątnych $r$ oraz połowie boku. Ponieważ bok ma $2$ cm, połowa ma $1$ cm, więc $R^2=r^2+1.$ Różnica pól kół wynosi zatem $\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)=\pi\ \text{cm}^2,$ niezależnie od liczby boków.

Środek wielokąta, środek dowolnego boku i koniec tego boku tworzą trójkąt prostokątny. Jego przeciwprostokątna ma długość $R$, a przyprostokątne $r$ oraz $a/2$. Zatem $R^2=r^2+\left(\frac a2\right)^2.$ Po przekształceniu otrzymujemy $a/2=\sqrt{R^2-r^2}$.

a) Połowa kąta środkowego opartego na boku ma $180^\circ/n$. W pomocniczym trójkącie prostokątnym $\sin\frac{180^\circ}{n}=\frac{a/2}{R},$ więc $a=2R\sin(180^\circ/n)$.

b) W analogicznym trójkącie $\operatorname{tg}\frac{180^\circ}{n}=\frac{a/2}{r}.$ Po przekształceniu $r=\frac a2\operatorname{ctg}(180^\circ/n)$.