MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 258

Korzystamy ze wzoru $\alpha=(n-2)180^\circ/n$. Dla $n=8$ otrzymujemy $6\cdot180^\circ/8=135^\circ$, a dla $n=10$ otrzymujemy $8\cdot180^\circ/10=144^\circ$.

Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta wynosi $(n-2)180^\circ$, więc $n=S/180^\circ+2$. Dla kolejnych wartości $S$ otrzymujemy odpowiednio $n=6,7,9,10,11$.

a) Dla kwadratu $R=a\sqrt2/2$, a $r=a/2$. Różnica pól kół to

Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wynosi $P=6\cdot a^2\sqrt3/4=3a^2\sqrt3/2$, a promień okręgu opisanego $R=a$.

a) Z $3a^2\sqrt3/2=150\sqrt3$ otrzymujemy $a=10$, więc długość okręgu wynosi $2\pi R=20\pi$.

b) Z $\pi R^2=32\pi$ mamy $R=a=4\sqrt2$. Pole sześciokąta wynosi $3\cdot32\sqrt3/2=48\sqrt3$.

a) Bok sześciokąta ma $54/6=9$ cm, więc promień okręgu wpisanego $r=9\sqrt3/2$. Pole koła wynosi $\pi r^2=243\pi/4$ cm$^2$.

b) Z $2\pi r=12\pi$ mamy $r=6$ cm. Ponieważ $r=a\sqrt3/2$, $a=4\sqrt3$ cm. Krótsza przekątna sześciokąta ma $a\sqrt3=12$ cm, a dłuższa, będąca średnicą okręgu opisanego, ma $2a=8\sqrt3$ cm.

Łączymy środek okręgu wpisanego ze wszystkimi wierzchołkami. Wielokąt dzieli się na $n$ przystających trójkątów o podstawie $a$ i wysokości równej promieniowi $r$. Pole jednego trójkąta to $ar/2$, zatem $P=n\cdot\frac{ar}{2}=\frac12nar.$