MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 257

a) Czworokątem może być romb niebędący kwadratem. Przykładowy sześciokąt równoboczny można zbudować z sześciu równych odcinków tak, aby jego kąty wewnętrzne miały na przemian $90^\circ$ i $150^\circ$; nie jest foremny, bo kąty nie są równe.

b) Czworokątem może być prostokąt niebędący kwadratem. Przykładowy sześciokąt równokątny ma wszystkie kąty po $120^\circ$, lecz kolejne boki mogą mieć długości $1,2,1,1,2,1$; pary przeciwległych boków zamykają wtedy figurę, ale nie wszystkie boki są równe.

Każda oś symetrii wielokąta foremnego przechodzi przez jego środek. Dla każdego wierzchołka przypada jedna oś: przy nieparzystym $n$ przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku, a przy parzystym $n$ osie przechodzą naprzemiennie przez pary wierzchołków i środki par boków. Foremny $n$-kąt ma zatem $n$ osi symetrii.

Z jednego wierzchołka wypukłego $n$-kąta prowadzimy przekątne do wszystkich wierzchołków niesąsiednich. Powstaje $n-2$ trójkątów, więc suma kątów wewnętrznych wynosi $(n-2)180^\circ$. W wielokącie foremnym wszystkie $n$ kątów są równe, zatem każdy ma miarę $\frac{(n-2)180^\circ}{n}=\frac{n-2}{n}\cdot180^\circ.$