MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 254

a) W trapezie równoramiennym suma podstaw jest równa sumie ramion, więc $5+9=2c$ i $c=7$. Połowa różnicy podstaw wynosi $2$, wysokość $\sqrt{7^2-2^2}=3\sqrt5$, a pole $7\cdot3\sqrt5=21\sqrt5$.

b) Niech wysokość, będąca jednym ramieniem, ma $h$. Drugie ramię ma $\sqrt{h^2+2^2}$. Warunek styczności daje $1+3=h+\sqrt{h^2+4}$. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $h=3/2$, a drugie ramię ma $5/2$.

Wysokość trapezu jest średnicą okręgu wpisanego, więc ma $8$ cm. Połowa różnicy podstaw tworzy z wysokością i ramieniem trójkąt prostokątny: $x=\sqrt{10^2-8^2}=6$. Różnica podstaw wynosi $12$, a ich suma — z warunku styczności — $20$. Podstawy mają zatem $16$ i $4$ cm.

Wysokość jest średnicą okręgu wpisanego, zatem $h=2$. Ramię trapezu tworzy z wysokością trójkąt $45^\circ$--$45^\circ$--$90^\circ$, więc ma $2\sqrt2$, a poziomy rzut każdego ramienia ma $2$. Suma podstaw jest równa sumie ramion, czyli $a+b=4\sqrt2$, a różnica dłuższej i krótszej podstawy wynosi $4$.

a) Suma podstaw $18+8=26$ jest równa sumie ramion, więc każde ramię ma $13$. Połowa różnicy podstaw to $5$, zatem wysokość wynosi $12$ i $P=26\cdot12/2=156$ cm$^2$.

b) Suma podstaw jest równa sumie ramion: $a+b=5+7=12$. Wysokość ma $2r=4$. Obwód wynosi $24$ cm, a pole $12\cdot4/2=24$ cm$^2$.

c) Wysokość ma $8$, a połowa różnicy podstaw $6$. Ramię wynosi $10$. Z warunku styczności krótsza podstawa ma $4$, dłuższa $16$. Stąd obwód wynosi $40$ cm, a pole $20\cdot8/2=80$ cm$^2$.

Łączymy środek okręgu z czterema wierzchołkami czworokąta. Powstają cztery trójkąty o podstawach równych kolejnym bokom i wspólnej wysokości $r$. Jeżeli obwód wynosi $l=a+b+c+d$, to $P=\frac12r(a+b+c+d)=\frac12rl.$