MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 253

Jeśli prostokąt o bokach $a,b$ ma okrąg wpisany, to sumy długości przeciwległych boków są równe: $2a=2b$. Zatem $a=b$. Prostokąt o wszystkich bokach równej długości jest kwadratem.

Odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu mają równe długości. Oznaczmy długości par wychodzących z kolejnych wierzchołków przez $x,y,z,w$. Kolejne boki mają wtedy długości $x+y$, $y+z$, $z+w$, $w+x$. Zatem $(x+y)+(z+w)=(y+z)+(w+x),$ czyli sumy długości przeciwległych boków są równe.

Sprawdzamy warunek równości sum przeciwległych boków. a) $1+3\ne5+7$ — nie. b) $14+8=9+13=22$ — tak. c) $25+15=16+24=40$ — tak.

Niech długości sąsiednich boków równoległoboku będą równe $a,b$. Warunek istnienia okręgu wpisanego ma postać $a+a=b+b$, więc $a=b$. Wszystkie cztery boki są zatem równe, czyli równoległobok jest rombem.