MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 255

W obu podpunktach wysokość trapezu wynosi $2r=6$.

a) Suma podstaw to $15+2{,}5=17{,}5$. Pole wynosi $17{,}5\cdot6/2=52{,}5$, a obwód — dwukrotność sumy podstaw — $35$.

b) Suma ramion, a więc także podstaw, wynosi $9+12=21$. Pole to $21\cdot6/2=63$, a obwód $42$.

Wysokość trapezu ma $2$. Rzuty poziome ramion wynoszą $2\operatorname{ctg}30^\circ=2\sqrt3$ oraz $2\operatorname{ctg}60^\circ=2\sqrt3/3$. Zatem różnica podstaw to $8\sqrt3/3$. Długości ramion są równe $4$ oraz $4\sqrt3/3$, więc z warunku styczności suma podstaw wynosi $4+4\sqrt3/3$. Rozwiązujemy układ równań na sumę i różnicę podstaw.

Wysokość trapezu prostokątnego wynosi $2$. Niech krótsza podstawa ma długość $x$. Skośne ramię ma wtedy $\sqrt{(6-x)^2+2^2}$. Z warunku styczności $6+x=2+\sqrt{(6-x)^2+4}.$ Po odizolowaniu pierwiastka i podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $x=6/5$.

a) Pole rombu wynosi $2^2\sin60^\circ=2\sqrt3$, a półobwód $4$. Stąd $r=P/p=\sqrt3/2$ i pole koła jest równe $3\pi/4$ cm$^2$.

b) Jeśli bok rombu ma długość $a$, to $r=P/p=(a^2\sin30^\circ)/(2a)=a/4$. Z $r=2$ mamy $a=8$, więc pole rombu wynosi $8^2\sin30^\circ=32$ cm$^2$.

W czworokącie opisanym na okręgu suma dwóch przeciwległych boków jest półobwodem. Zatem $p=AB+CD=5+3{,}4=8{,}4$. Pole czworokąta wynosi $pr=8{,}4\cdot2=16{,}8$, a pole koła $4\pi$. Zacieniowany obszar jest różnicą tych pól.

Niech $a>b$ będą podstawami, $c$ ramieniem, a $h$ wysokością. Warunek istnienia okręgu wpisanego daje $a+b=2c$, czyli $c=(a+b)/2$. Połowa różnicy podstaw wynosi $(a-b)/2$. Z twierdzenia Pitagorasa

a) Kolejne boki deltoidu mają długości $a,a,b,b$. Sumy długości przeciwległych boków są więc równe $a+b$. Dla wypukłego deltoidu spełniony jest warunek istnienia okręgu wpisanego.

b) Dla czworokąta opisanego na okręgu $P=pr$, gdzie półobwód $p=28/2=14$. Stąd $r=42/14=3$ cm.