MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 251

a) Średnica będąca podstawą ma $10$ cm. Druga podstawa jest cięciwą odległą od środka o $4$ cm, ma więc długość $2\sqrt{5^2-4^2}=6$ cm. Ramię ma $\sqrt{4^2+((10-6)/2)^2}=2\sqrt5$ cm.

b) Niech promień będzie równy $R$. Przekątna wznosi się o $2$ cm pod kątem $30^\circ$, więc jej rzut na średnicę ma $2\sqrt3$ cm. Jeśli górny wierzchołek ma współrzędną poziomą $x$, to $x+R=2\sqrt3$ oraz $x^2+2^2=R^2$. Po podstawieniu otrzymujemy $R=4\sqrt3/3$ cm.

Odległości środka okręgu od cięciw długości $8$ i $6$ wynoszą odpowiednio $\sqrt{5^2-4^2}=3,\qquad \sqrt{5^2-3^2}=4.$

a) Z rysunku cięciwy leżą po przeciwnych stronach środka, więc wysokość trapezu ma $3+4=7$. Pole wynosi $\frac{8+6}{2}\cdot7=49$.

b) Obie cięciwy leżą po tej samej stronie środka. Wysokość ma $4-3=1$, zatem pole wynosi $\frac{8+6}{2}\cdot1=7$.

Niech $M$ będzie środkiem dłuższej podstawy. W trójkącie prostokątnym $AOM$ mamy $OA=R$ i kąt przy $A$ równy $30^\circ$. Stąd $OM=R/2$, $AM=R\sqrt3/2$, więc $AB=R\sqrt3$.

a) Dla $R=4$ środek jest $2$ cm od $AB$. Ponieważ wysokość wynosi $5$, druga podstawa leży po przeciwnej stronie środka, w odległości $3$ cm. Ma długość $2\sqrt{4^2-3^2}=2\sqrt7$ cm.

b) Dla $R=10$ odległość środka od $AB$ wynosi $5$ cm. Aby $AB$ pozostała dłuższą podstawą, druga cięciwa leży o $3$ cm dalej od środka, czyli w odległości $8$ cm. Ma długość $2\sqrt{10^2-8^2}=12$ cm.

Niech krótsza podstawa i oba ramiona mają ostatecznie długość $a$, a dłuższa podstawa $2a$. Ustawmy trapez symetrycznie. Połowa różnicy podstaw ma $a/2$. Warunek, że przekątna jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie, po zastosowaniu wzoru na tangens połowy kąta daje $h=a\sqrt3/2$. Wtedy ramię ma $\sqrt{h^2+(a/2)^2}=a$, co uzasadnia przyjęte oznaczenie.

Z pola

=\frac{3a^2\sqrt3}{4}$$ otrzymujemy $a^2=4\sqrt3$, czyli $a=2\sqrt[4]{3}$. W trójkącie utworzonym przez dłuższą podstawę, ramię i przekątną zachodzi $a^2+(a\sqrt3)^2=(2a)^2$, więc dłuższa podstawa jest średnicą okręgu. Promień wynosi $a$.

a) W deltoidzie kąty między bokami różnych długości są równe. Ponieważ deltoid jest wpisany w okrąg, kąty te są też przeciwległe i ich suma wynosi $180^\circ$, więc oba są proste. Przekątna łącząca pozostałe wierzchołki dzieli deltoid na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $x,y$. Zatem $P=2\cdot\frac12xy=xy$.

b) Każdy z tych trójkątów ma przyprostokątne $7$ i $24$, a zatem przeciwprostokątną $25$. Jest ona średnicą wspólnego okręgu.

Z rysunku przekątna $AC$ jest osią symetrii deltoidu. Kąty przy $B$ i $D$ są równe, a jako przeciwległe kąty czworokąta wpisanego sumują się do $180^\circ$. Są więc proste, a $AC$ jest średnicą długości $26$.

Oznaczmy dwa różne boki deltoidu przez $x,y$. Pole deltoidu wynosi $xy=312$, a z trójkąta prostokątnego $x^2+y^2=26^2$. Zatem $(x+y)^2=676+624=1300$, czyli $x+y=10\sqrt{13}$. Obwód to $2(x+y)$.

Trójkąty $ACD$ i $ACB$ mają po połowie pola deltoidu. Punkt $O$ jest środkiem $AC$, więc trójkąt $AOD$ ma połowę pola trójkąta $ACD$.

Kąty $ABC$ i $ADC$ są przeciwległe, więc $\angle ADC=60^\circ$. Ponieważ $AD=DC$, trójkąt $ADC$ jest równoboczny. Jego bok ma $2R\sin60^\circ=6\sqrt3$, a pole $27\sqrt3$.

Niech $\theta=\angle BDC$. Wtedy $\angle ADB=60^\circ-\theta$. Ze stosunku pól trójkątów $ABD$ i $BCD$ oraz $AD=DC$ mamy $\frac{\sin(60^\circ-\theta)}{\sin\theta}=2,$ skąd $\tan\theta=\sqrt3/5$. Dla $\cos\theta=5/(2\sqrt7)$ i $\sin\theta=\sqrt3/(2\sqrt7)$ długość cięciwy $BD$ wynosi $18\sqrt{21}/7$. Stąd

\cdot\frac{\sqrt3}{2\sqrt7}=\frac{81\sqrt3}{7}.$$ Pole $ABD$ jest dwukrotnie większe, więc pole czworokąta jest trzykrotnością $P_{BCD}$.