MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 250

Najpierw korzystamy z sumy kątów czworokąta. a) $10\alpha=360^\circ$, więc $\alpha=36^\circ$; przeciwległe kąty mają sumy $144^\circ$ i $216^\circ$, więc warunek nie jest spełniony. b) $12\alpha=360^\circ$, więc $\alpha=30^\circ$; obie sumy wynoszą $180^\circ$. c) Ponownie $\alpha=30^\circ$ i obie sumy przeciwległych kątów wynoszą $180^\circ$.

a) Przekątna prostokąta ma $\sqrt{6^2+10^2}=2\sqrt{34}$, więc promień okręgu wynosi $\sqrt{34}$, a jego pole $34\pi$.

b) Przekątna jest średnicą długości $40$. Dla boków $3k,4k$ ma długość $5k$, więc $k=8$. Pole prostokąta wynosi $24\cdot32=768$.

Przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Ich połówki tworzą trójkąty równoramienne o kącie $60^\circ$, skąd dłuższy bok prostokąta jest $\sqrt3$ razy dłuższy od krótszego.

a) Dla krótszego boku $6$ przekątna ma $12$, więc $R=6$ i pole koła wynosi $36\pi$ cm$^2$. b) Dla dłuższego boku $6$ przekątna ma $4\sqrt3$, więc $R=2\sqrt3$ i pole koła wynosi $12\pi$ cm$^2$.

Niech $AB\parallel CD$. Z równoległości podstaw mamy $A+D=180^\circ$. Ponieważ trapez jest wpisany w okrąg, zachodzi także $A+C=180^\circ$. Stąd $C=D$. Równość kątów przy jednej podstawie oznacza, że trapez jest równoramienny.

Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny, więc $\alpha=\beta$ oraz $\gamma=\delta$. Ponadto $\alpha+\gamma=180^\circ$. Z warunku $\gamma=4\alpha$ mamy $5\alpha=180^\circ$.

a) W przykładzie średnica ma $4$, ramiona trapezu po $2$, a druga podstawa $2$. Obwód wynosi więc $4+2+2+2=10$.

b) Oznaczmy promień przez $R$, a połowę drugiej podstawy przez $u$. Z symetrii trapezu i kąta $60^\circ$ między przekątnymi wynika $u/R=1/2$. Dla ramienia długości $1$ twierdzenie Pitagorasa w odpowiednim trójkącie daje $1^2=2R(R-u)=R^2$, zatem $R=1$ i $u=1/2$. Podstawy mają długości $2$ i $1$, a ramiona po $1$.