MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 249

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe. Jeśli można na nim opisać okrąg, to kąty przeciwległe mają jednocześnie sumę $180^\circ$. Każdy z nich ma zatem $90^\circ$, więc wszystkie kąty równoległoboku są proste. Taki równoległobok jest prostokątem.

Kąt $A$ jest połową miary łuku $BCD$, a kąt $C$ połową miary pozostałego łuku $DAB$. Łuki te tworzą cały okrąg, więc $A+C=\frac12\cdot360^\circ=180^\circ.$ Tak samo, rozpatrując dwa łuki o końcach $A,C$, otrzymujemy $B+D=180^\circ$.

W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$. Zatem brakujące kąty mają miary $180^\circ-\alpha$ oraz $180^\circ-\beta$.

a) Z $A+C=180^\circ$ i $A=2C$ mamy $C=60^\circ$, $A=120^\circ$. Z $B+D=180^\circ$ i $B=D/2$ mamy $B=60^\circ$, $D=120^\circ$.

b) Z $A=3C$ oraz $A+C=180^\circ$ wynika $C=45^\circ$, $A=135^\circ$. Ponieważ $B=2C=90^\circ$, także $D=90^\circ$.