MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 247

W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego leży w punkcie przecięcia wysokości. Dzieli wysokość w stosunku $2:1$, zatem $h=3r$. Wobec tego $P=\frac12ah=\frac12a\cdot3r=\frac32ar.$

a) Dla trójkąta równobocznego $r=a\sqrt3/6$. Z $r=2$ wynika $a=4\sqrt3$, więc $P=a^2\sqrt3/4=12\sqrt3$.

b) W trójkącie równobocznym $R=2r$. Stosunek pól kół jest więc równy $\pi R^2/(\pi r^2)=4$.

a) Trójkąt $30^\circ$--$60^\circ$--$90^\circ$ o przeciwprostokątnej $8$ ma przyprostokątne $4$ i $4\sqrt3$. Stąd $r=(4+4\sqrt3-8)/2=2(\sqrt3-1)$.

b) Przyprostokątne mają $6$ i $6\sqrt3$, a przeciwprostokątna $12$. Zatem $r=3(\sqrt3-1)$, a długość okręgu wynosi $2\pi r=6\pi(\sqrt3-1)$.

Pole trójkąta prostokątnego można zapisać na dwa sposoby: $P=\frac{ab}{2}=pr=\frac{a+b+c}{2}\,r.$ Stąd $r=ab/(a+b+c)$. Ponieważ $c^2=a^2+b^2$, mamy $(a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^2-c^2=2ab$. Zatem $r=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{a+b-c}{2}.$

Niech $A$ będzie wskazanym kątem ostrym, a $I$ środkiem okręgu. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez $AI$ i promień do boku $\sin\frac A2=\frac{r}{AI}=\frac2{2\sqrt{10}}=\frac1{\sqrt{10}}.$ Stąd $\tan(A/2)=1/3$, więc $\tan A=3/4$. Trójkąt ma proporcje boków $3:4:5$. Jego promień wpisany jest równy skali tej trójki, zatem skala wynosi $2$, a przyprostokątne mają $6$ i $8$.

Podstawa ma $b=q-2x$, wysokość $h=\sqrt{x^2-(b/2)^2}$, a z $P=pr$ otrzymujemy $r=bh/q$.

a) $b=24$, $h=9$, zatem $r=4$ i długość okręgu wynosi $8\pi$. b) $b=24$, $h=5$, zatem $r=12/5$ i długość okręgu wynosi $24\pi/5$.

Niech części wysokości mają $2t$ i $3t$, licząc od podstawy. Wtedy $r=2t$, cała wysokość $h=5t$, a połowa podstawy ma $4$. Ramię trójkąta ma $\sqrt{25t^2+16}$. Z zależności $r=P/p$: $2t=\frac{4\cdot5t}{4+\sqrt{25t^2+16}}.$ Po skróceniu otrzymujemy $\sqrt{25t^2+16}=6$, więc $t=2/\sqrt5$.

Pierwszy trójkąt ma ramię $5$, pole $12$ i półobwód $8$, więc $r_1=12/8=3/2$. Drugi także ma ramię $5$ i pole $12$, lecz jego półobwód wynosi $9$, więc $r_2=4/3$. Różnica pól kół to $\pi\left(\frac94-\frac{16}{9}\right)=\frac{17}{36}\pi.$

Wysokość trójkąta wynosi $\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt2$, zatem $P=8\sqrt2$, półobwód $p=8$ i $r=\sqrt2$. Środek $O$ leży na wysokości. Do każdego końca podstawy ma odległość $\sqrt{2^2+r^2}=\sqrt6$, a do wierzchołka $4\sqrt2-r=3\sqrt2$.

Długość odcinka stycznej wychodzącego z wierzchołka kąta $A$ jest równa $r\operatorname{ctg}(A/2)$. Dla odcinka $4$ otrzymujemy $A=90^\circ$, a dla $4\sqrt3$ otrzymujemy $B=60^\circ$. Trzeci kąt ma więc $30^\circ$. Dany bok $4+4\sqrt3$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$, jest zatem krótszą przyprostokątną trójkąta $30^\circ$--$60^\circ$--$90^\circ$.