MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 246

W trójkącie prostokątnym korzystamy ze wzoru $r=\frac{a+b-c}{2},\qquad c=\sqrt{a^2+b^2}.$

a) $c=20$, więc $r=(12+16-20)/2=4$. b) $c=\sqrt2$, więc $r=(2-\sqrt2)/2$. c) $c=26$, więc $r=(10+24-26)/2=4$. d) $c=3$, więc $r=(2+\sqrt5-3)/2=(\sqrt5-1)/2$.

a) Każdy z trzech trójkątów ma kąt prosty, a ponadto każda para ma wspólny kąt ostry albo dwa kąty ostre równe. Z cechy kąt--kąt trójkąty $ABC$, $ACD$ i $CBD$ są podobne.

b) $AB=9+16=25$. Z twierdzeń o wysokości w trójkącie prostokątnym:

Wysokość ma długość $h=\sqrt{y^2-(x/2)^2}$. Pole trójkąta to $xh/2$, a półobwód $(x+2y)/2$, dlatego $r=\frac{xh}{x+2y}.$ a) $h=8$, więc $r=12\cdot8/32=3$. b) $h=12$, więc $r=10\cdot12/36=10/3$.

W obu podpunktach kąty trójkąta mają miary $30^\circ,30^\circ,120^\circ$. Jeśli $l$ oznacza ramię, to podstawa ma $l\sqrt3$, wysokość $l/2$, a $r=\frac{P}{p}=\frac{l(2\sqrt3-3)}2.$

a) Dla $r=3$ otrzymujemy $l=6+4\sqrt3=2(3+2\sqrt3)$, a podstawa ma $12+6\sqrt3=6(2+\sqrt3)$.

b) Dla $r=2$ mamy $l=4+\frac{8\sqrt3}{3}$. Pole wynosi $\frac12\,l^2\sin120^\circ=16+\frac{28\sqrt3}{3}.$