MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 245

Dla trójkąta prostokątnego $r=\frac{a+b-c}{2}$.

a) $c=5$, więc $r=\frac{3+4-5}{2}=1$. b) $c=25$, więc $r=\frac{7+24-25}{2}=3$.

Korzystamy z $a+b=c+2r$ i twierdzenia Pitagorasa.

a) Dla $r=4$, $a=10$ mamy $c=b+2$. Z $10^2+b^2=(b+2)^2$ wynika $b=24$, $c=26$.

b) Dla $r=2$, $c=10$ mamy $a+b=14$ oraz $a^2+b^2=100$. Stąd $2ab=14^2-100=96$; liczby $a,b$ są pierwiastkami $t^2-14t+48=0$, czyli mają długości $6$ i $8$.

Łączymy środek okręgu wpisanego z trzema wierzchołkami. Trójkąt dzieli się na trzy mniejsze trójkąty o podstawach $a,b,c$ i wspólnej wysokości $r$. Zatem

Z długości okręgu $2\pi r=3\pi$ mamy $r=\frac32$. Półobwód trójkąta o bokach $5,5,6$ wynosi $p=8$. Stosujemy $P=pr$.