MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 244

Niech $O$ będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów przy $A$ i $B$. Punkt na dwusiecznej jest jednakowo odległy od obu ramion kąta. Zatem z pierwszej dwusiecznej odległości $O$ od $AB$ i $AC$ są równe, a z drugiej odległości od $BA$ i $BC$ są równe. Wszystkie trzy odległości od boków są więc równe, czyli $O$ leży też na dwusiecznej kąta przy $C$.

a) $r=\frac{18\sqrt3}{6}=3\sqrt3$, więc długość okręgu to $2\pi r=6\sqrt3\pi$.

b) Z $2\pi r=10\pi$ mamy $r=5$. Ze wzoru $5=\frac{a\sqrt3}{6}$ wynika $a=10\sqrt3$, więc obwód to $30\sqrt3$.

Bok trójkąta ma $a=36/3=12$ cm. Promienie okręgu wpisanego i opisanego wynoszą $r=\frac{12\sqrt3}{6}=2\sqrt3$ oraz $R=\frac{12\sqrt3}{3}=4\sqrt3$. Suma długości okręgów to $2\pi(r+R)$.