MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 243

W każdym podpunkcie $R$ jest połową przeciwprostokątnej.

a) $8=\frac12c\cdot2$, więc $c=8$ i $R=4$ cm. b) Kąty ostre mają $30^\circ$ i $60^\circ$. Krótsza przyprostokątna $5$ jest połową przeciwprostokątnej, więc $c=10$ i $R=5$ cm. c) Dla przyprostokątnej $x$ mamy $x(2+\sqrt2)=6$. Przeciwprostokątna $x\sqrt2=6(\sqrt2-1)$, więc $R=3(\sqrt2-1)$ cm.

Z $\pi R^2=6{,}25\pi$ otrzymujemy $R=2{,}5$, więc przeciwprostokątna ma długość $5$. Trójkąt o stosunku przyprostokątnych $3:4$ jest podobny do trójkąta $3$–$4$–$5$, zatem przyprostokątne mają długości $3$ i $4$.

Przeciwprostokątna każdego takiego trójkąta jest średnicą i ma długość $6$. Dla przyprostokątnych $a,b$ zachodzi $a^2+b^2=36$. Iloczyn $ab$ jest największy, gdy $a=b=3\sqrt2$, czyli trójkąt jest równoramienny.

Dla trójkąta równobocznego $ABD$ mamy $12=R\sqrt3=4\sqrt3\cdot\sqrt3$, więc $P_{ABD}=\frac{12^2\sqrt3}{4}=36\sqrt3$.

Z rysunku punkt $C$ jest środkiem mniejszego łuku $AD$. Kąty środkowe $AOC$ i $COD$ mają po $60^\circ$, zatem $AC=CD=2R\sin30^\circ=4\sqrt3$. W trójkącie równoramiennym $ACD$ wysokość do podstawy $AD=12$ ma $2\sqrt3$, więc jego pole to $12\sqrt3$.

a) Połowa podstawy ma $4$, więc wysokość wynosi $\sqrt{(4\sqrt5)^2-4^2}=8$. Pole to $32$. Ze wzoru $R=\frac{abc}{4P}$ dostajemy $R=\frac{8\cdot(4\sqrt5)^2}{128}=5$ cm.

b) Jeśli $l$ jest ramieniem, to $4/l=\cos\beta=4/5$, więc $l=5$, a wysokość ma $3$. Pole wynosi $12$, zatem $R=\frac{8\cdot5\cdot5}{4\cdot12}=\frac{25}{6}$ cm.

Niech $x$ będzie połową podstawy, a $s=\sqrt{x^2+h^2}$ ramieniem. Ze wzoru $R=\frac{abc}{4P}$ dla boków $s,s,2x$ i pola $xh$ mamy $13=\frac{x^2+h^2}{2h},\qquad x^2=26h-h^2.$

a) Dla $h=20$: $x=2\sqrt{30}$, $s=2\sqrt{130}$. b) Dla $h=6$: $x=2\sqrt{30}$, $s=2\sqrt{39}$.

a) Wysokość ma $\sqrt{5^2-4^2}=3$, podstawa $AB=4+2=6$, a drugi bok $BC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$. Stąd $P=9$ i $R=\frac{5\cdot6\cdot\sqrt{13}}{4\cdot9}=\frac{5\sqrt{13}}6$.

b) Rzuty boków na podstawę mają długości $\sqrt{20^2-12^2}=16$ i $\sqrt{13^2-12^2}=5$, więc $AB=21$. Pole wynosi $126$, a $R=\frac{20\cdot13\cdot21}{4\cdot126}=\frac{65}{6}$.

Podstawa ma długość $6$ i środek $(2,-2)$, więc z symetrii $C=(2,-2\pm h)$. Pole trójkąta to $3h$, a każde ramię ma $\sqrt{h^2+9}$. Ze wzoru na promień okręgu opisanego $5=\frac{6(h^2+9)}{4\cdot3h}=\frac{h^2+9}{2h}.$ Stąd $h^2-10h+9=0$, czyli $h=1$ lub $h=9$.

Półobwód wynosi $27$. Z wzoru Herona