MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 242

a) Podstawa długości $4$ leży naprzeciw kąta $45^\circ$. Z twierdzenia sinusów $4=2R\sin45^\circ$, więc $R=2\sqrt2$ cm.

b) Połowa podstawy ma $3$ cm. Odległość środka okręgu od tej cięciwy wynosi $\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm. Wysokość trójkąta może więc mieć $5+4=9$ cm albo $5-4=1$ cm. Ramiona mają odpowiednio $\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$ cm lub $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ cm.

Podstawa leżąca naprzeciw kąta $120^\circ$ ma $2R\sin120^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3$. Każdy kąt przy podstawie ma $30^\circ$, więc ramię ma $2R\sin30^\circ=4$. Pole to $\frac12\cdot4\cdot4\sin120^\circ=4\sqrt3$.

Dla okręgu o promieniu $8$ ustawmy wierzchołek obu trójkątów na końcu średnicy. Przy wysokości $h$ podstawa leży w odległości $8-h$ od środka, a jej połowa ma długość $\sqrt{8^2-(8-h)^2}$.

Dla $h=10$ pole wynosi $10\cdot\sqrt{64-4}=20\sqrt{15}$. Dla $h=4$ pole wynosi $4\cdot\sqrt{64-16}=16\sqrt3$.

Korzystamy ze wzoru $P=\frac{abc}{4R}$.

a) $P=\frac{4\cdot13\cdot15}{4\cdot65/8}=24$ cm$^2$. b) $R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}$ cm.