MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 240

Niech $O$ będzie punktem przecięcia symetralnych boków $AB$ i $AC$. Z definicji symetralnej $OA=OB$ oraz $OA=OC$, więc $OB=OC$. Punkt $O$ jest zatem jednakowo odległy od końców odcinka $BC$, czyli leży również na symetralnej $BC$. Wszystkie trzy symetralne przechodzą przez $O$.

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego jest punktem przecięcia median i leży w odległości $\frac23$ wysokości od wierzchołka. Ponieważ $h=\frac{a\sqrt3}{2}$, mamy $R=\frac23h=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}.$

a) Z $\frac{a^2\sqrt3}{4}=64\sqrt3$ otrzymujemy $a=16$. Stąd $R=\frac{16\sqrt3}{3}$, a pole koła wynosi $\pi R^2=\frac{256}{3}\pi$.

b) Z $6=\frac{a\sqrt3}{3}$ mamy $a=6\sqrt3$. Wysokość wynosi $\frac{a\sqrt3}{2}=9$, a pole $\frac{a^2\sqrt3}{4}=27\sqrt3$.