MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 239

Kąty $\angle APC$ i $\angle DPB$ są wierzchołkowe. Ponadto $\angle PAC=\angle PDB$, ponieważ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku $BC$. Zatem trójkąty $PAC$ i $PDB$ są podobne. Z proporcji odpowiadających boków $\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$ po wymnożeniu stronami otrzymujemy $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.

Stosujemy $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.

a) $12\cdot3=4x$, więc $x=9$. b) Pionowa średnica ma promień $3$, a punkt przecięcia leży $1$ od środka. Jej części mają więc $4$ i $2$. Średnica jest prostopadła do poziomej cięciwy, więc dzieli ją na połowy: $x^2=4\cdot2$, $x=2\sqrt2$. c) Pozioma cięciwa jest średnicą o promieniu $5\frac12$. Jeśli prawa część ma $x$, lewa ma $11-x$. Zatem $x(11-x)=4\cdot6=24$; warunki rysunku wybierają mniejszy pierwiastek $x=3$.

Przez $P$ prowadzimy pomocniczą średnicę. Jej części mają $11-5=6$ i $11+5=16$, więc potęga punktu wynosi $6\cdot16=96$. Jeśli szukane części cięciwy mają $x$ i $20-x$, to $x(20-x)=96$. Równanie $x^2-20x+96=0$ ma pierwiastki $8$ i $12$.

a) Dla punktu przecięcia cięciw $2\cdot PB=4\cdot3$, więc $PB=6$. Średnica $AB=8$, zatem $r=4$. W układzie z $A=(0,0)$, $B=(8,0)$ i $P=(2,0)$ warunki okręgu oraz $PC=4$ dają wysokość punktu $C$ równą $\sqrt{15}$; stąd $P_{ABC}=\frac12\cdot8\sqrt{15}=4\sqrt{15}$.

b) Średnica prostopadła do cięciwy dzieli ją na połowy po $3$. Z twierdzenia o cięciwach $3^2=\frac32(2r-\frac32)$, skąd $r=\frac{15}{4}$. Podstawa $AC=6$, a odległość $B$ od niej wynosi $6$, więc pole to $18$.

c) Odcinek $AB$ przechodzi przez środek, jest więc średnicą. Z $2\cdot PB=3\cdot PC$ i danych boków otrzymujemy $PB=\frac92$, $PC=3$, czyli $AB=\frac{13}{2}$ i $r=\frac{13}{4}$. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny; ma przyprostokątne $\frac52$ i $6$, więc pole wynosi $\frac{15}{2}$.

Prostopadła ze środka do cięciwy dzieli ją na połowy po $2\sqrt7$. Odległość środka od cięciwy wynosi $\sqrt{8^2-(2\sqrt7)^2}=6$. Cięciwa dzieli więc średnicę na części $8-6=2$ oraz $8+6=14$.

W pomocniczym trójkącie prostokątnym dla ostrego kąta czworokąta przeciwległa przyprostokątna ma $2\sqrt7$, a przeciwprostokątna $8$. Zatem $\sin\alpha=\frac{\sqrt7}{4}$, co daje $\alpha\approx41^\circ$.

Ponieważ $PB=PD$ i przekątne są prostopadłe, przekątna $AC$ jest symetralną cięciwy $BD$, a więc przechodzi przez środek okręgu. Jest średnicą długości $13$. Stąd $PC=13-PA=9$.

Z twierdzenia o cięciwach $PB^2=PA\cdot PC=4\cdot9=36$, więc $PB=PD=6$. Trójkąty przy przekątnej $AC$ są prostokątne: $AB=AD=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$ oraz $BC=CD=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}$.