MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 238

a) Kąt $\alpha$ i dany kąt $23^\circ$ są wpisane i oparte na tym samym łuku, więc $\alpha=23^\circ$. Odpowiadający im kąt środkowy ma $46^\circ$, a zaznaczony kąt przyległy $\beta=180^\circ-46^\circ=134^\circ$.

b) Trójkąt utworzony przez dwa promienie jest równoramienny. Skoro jeden kąt przy podstawie ma $39^\circ$, kąt środkowy ma $\beta=180^\circ-2\cdot39^\circ=102^\circ$, a $\alpha=\beta/2=51^\circ$.

c) Kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$, zatem $\alpha=180^\circ-90^\circ-58^\circ=32^\circ$ i $\beta=2\alpha=64^\circ$.

Ponieważ $\alpha=2\beta$:

a) $3\beta=111^\circ$, więc $\beta=37^\circ$, $\alpha=74^\circ$. b) $2\beta=\beta+56^\circ30'$, więc $\beta=56^\circ30'$, $\alpha=113^\circ$. c) $\frac12(2\beta)+\frac13\beta=48^\circ$, czyli $\frac43\beta=48^\circ$. Stąd $\beta=36^\circ$, $\alpha=72^\circ$.

Wykorzystujemy kąty środkowe, równość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku i sumy kątów w trójkątach z promieni.

a) Kąt środkowy $70^\circ$ i zaznaczony kąt $15^\circ$ dają $\alpha=30^\circ$ oraz $\beta=35^\circ$. b) Po rozdzieleniu kąta środkowego $100^\circ$ i wykorzystaniu kąta $30^\circ$ otrzymujemy $\alpha=60^\circ$, $\beta=70^\circ$. c) Kąt wpisany $25^\circ$ wyznacza kąt środkowy $50^\circ$; z kąta prostego między średnicą i styczną wynika $\alpha=50^\circ$, $\beta=40^\circ$.

a) Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą kąt $\alpha$ jest równy kątowi wpisanemu $32^\circ$ opartemu na tej samej cięciwie. b) Analogicznie kąt wpisany $\alpha$ i kąt $42^\circ$ między styczną i cięciwą są oparte na tym samym łuku. c) Kąt oparty na średnicy jest prosty. Razem z kątem $54^\circ$ pozostawia przy stycznej kąt $90^\circ-54^\circ=36^\circ$.

a) Trójkąt $AOB$ jest równoramienny. Kąt $96^\circ$ nie może być kątem przy podstawie, więc jest kątem środkowym. Kąt przy $A$ ma $(180^\circ-96^\circ)/2=42^\circ$. Promień jest prostopadły do stycznej, więc szukany kąt ma $90^\circ-42^\circ=48^\circ$.

b) Łuk $\pi$ stanowi $\frac1{12}$ obwodu $12\pi$, odpowiada więc kątowi środkowemu $30^\circ$. Kąt między styczną i cięciwą ma połowę tej miary.