MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 237

Jeden z 16 łuków odpowiada kątowi $22{,}5^\circ$. Od punktu $A$ możemy odmierzać zadaną liczbę łuków w obu kierunkach.

a) $45^\circ$ to 2 łuki: punkty $C$ i $O$. b) $112{,}5^\circ$ to 5 łuków: $F$ i $L$. c) $225^\circ$ to 10 łuków, równoważnie 6 w przeciwną stronę: $G$ i $K$. d) $315^\circ$ to 14 łuków, równoważnie 2 w przeciwną stronę: $C$ i $O$.

Obwód okręgu wynosi $12\pi$. Kąt środkowy ma miarę $360^\circ\cdot\frac{s}{12\pi}$, a kąt wpisany jest o połowę mniejszy. Po podstawieniu kolejnych długości łuków dostajemy odpowiednio kąty środkowe $60^\circ$, $90^\circ$, $225^\circ$ i $7{,}5^\circ$.

a) Cięciwa oznaczona $r$ wraz z dwoma promieniami tworzy trójkąt równoboczny. Stąd $\alpha=\beta=60^\circ$. Kąt wpisany $\gamma$ oparty na tym samym łuku ma połowę kąta środkowego: $30^\circ$.

b) Trójkąt z bokiem oznaczonym $r$ i dwoma promieniami jest równoboczny, więc $\alpha=60^\circ$. Druga część leży na średnicy; z twierdzenia o kącie wpisanym oraz sumy kątów otrzymujemy $\beta=\gamma=30^\circ$.

c) Dwa górne boki są promieniami-cięciwami długości $r$, więc odpowiadają im łuki po $60^\circ$. Łuk przechodzący przez górny wierzchołek ma $120^\circ$, stąd $\gamma=60^\circ$. Kąt wpisany przy górnym wierzchołku opiera się na łuku $240^\circ$, więc $\alpha=120^\circ$; ten sam łuk wyznacza zaznaczony kąt środkowy $\beta=240^\circ$.

W każdym podpunkcie korzystamy z równości kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, z kątów na średnicy i z sumy kątów trójkąta.

a) Dwie zaznaczone proste przechodzą przez środek, więc są średnicami. Kąt środkowy $40^\circ$ pozostawia kąt $140^\circ$; jego połową są $\alpha=\beta=70^\circ$, a $\gamma=20^\circ$.

b) Kąt $\beta$ i zaznaczony kąt $40^\circ$ opierają się na tym samym łuku. Z kąta $80^\circ$ przy przecięciu przekątnych i kątów trójkątów otrzymujemy równe kąty $\alpha=\gamma=30^\circ$.

c) Kąt $\beta$ jest równy zaznaczonemu kątowi $35^\circ$. Kąt $65^\circ$ w trójkącie opartym na średnicy daje $\gamma=25^\circ$, a kąty $\alpha$ i $\gamma$ opierają się na tym samym łuku.

Niech $A$ będzie punktem styczności, $AB$ cięciwą, a $C$ dowolnym punktem przeciwległego łuku. Oznaczmy $\gamma=\angle ACB$. Wtedy kąt środkowy $\angle AOB=2\gamma$. Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, więc $\angle OAB=\frac{180^\circ-2\gamma}{2}=90^\circ-\gamma.$ Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej, dlatego kąt między styczną a cięciwą $AB$ ma $90^\circ-(90^\circ-\gamma)=\gamma$.