MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 236

Przypadek II. Niech środek $O$ leży na jednym ramieniu kąta wpisanego. W trójkącie utworzonym przez dwa promienie kąty przy podstawie są równe $\beta$. Kąt środkowy $\alpha$ jest kątem zewnętrznym tego trójkąta, zatem $\alpha=\beta+\beta=2\beta$.

Przypadek III. Wprowadzamy kąty pomocnicze $\alpha_1$ i $\beta_1$ jak na rysunku. Dla większej konfiguracji, obejmującej środek, przypadek I daje $\alpha+\alpha_1=2(\beta+\beta_1)$. Dla części pomocniczej przypadek II daje $\alpha_1=2\beta_1$. Odejmując stronami, otrzymujemy $\alpha=2\beta$.

1. Dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku odpowiadają temu samemu kątowi środkowemu $\alpha$. Każdy ma więc miarę $\alpha/2$, zatem są równe.

2. Półokrąg odpowiada kątowi środkowemu $180^\circ$. Kąt wpisany oparty na tym łuku ma $180^\circ/2=90^\circ$.

3. Przeciwległe kąty czworokąta wpisanego opierają się na dwóch łukach, które razem tworzą cały okrąg. Odpowiadające kąty środkowe mają razem $360^\circ$, więc kąty wpisane mają razem $180^\circ$.