MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 233

Niech prosta ma równanie $x=c$. Połowa cięciwy długości $L$ i odległość $|c|$ tworzą z promieniem trójkąt prostokątny: $c^2+(L/2)^2=100$. Podstawienie kolejnych długości daje $|c|=8,5\sqrt2,5\sqrt3,0$.

Środek okręgu stycznego do obu prostych leży w połowie odległości między nimi. Promień jest więc połową odległości $5$ cm.

Trójkąt $O_1PO_2$ jest prostokątny, więc $PO_2=\sqrt{(r+R)^2-r^2}=\sqrt{R^2+2rR}$. Z punktu $P$ odcinek $PQ$ jest styczny do większego okręgu, zatem $PQ=\sqrt{PO_2^2-R^2}=\sqrt{2rR}$. Pozostałe boki czworokąta mają długości $r$, $r+R$ i $R$.

Jeżeli cięciwa leży na prostej $y=c$, to $10^2+c^2=11^2$, skąd $c=\pm\sqrt{21}$. Punkt $P=(x,c)$ ma odległość $5$ od początku układu, więc $x^2+c^2=25$ i $x=\pm2$.

Dla większego okręgu trójkąt $PO_2B$ jest prostokątny, więc $PB=\sqrt{13^2-5^2}=12$. Trójkąty $PO_1A$ i $PO_2B$ są podobne, zatem $PO_1/13=r/5$. Ponieważ środki i $P$ są współliniowe, $PO_2=PO_1+r+5$. Stąd $13=\frac{13r}{5}+r+5$, czyli $r=\frac{20}{9}$.

Prostopadła ze środka do cięciwy dzieli ją na połowy. a) Odległość środka od prostej wynosi $3$, więc połowa cięciwy ma $\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7$. b) Odległość środka od prostej to $4$, a połowa cięciwy ma $3$, zatem $r=\sqrt{4^2+3^2}=5$.

Promień wynosi $6$, a cięciwa $AB$ także $6$, więc trójkąt $AOB$ jest równoboczny. Kąt między stycznymi ma $120^\circ$. W trójkącie prostokątnym $AOP$ kąt przy $O$ ma $30^\circ$, stąd $AP=6\tan30^\circ=2\sqrt3$. Zatem $P_{APB}=\frac12(2\sqrt3)^2\sin120^\circ=3\sqrt3.$

Odległość środków wynosi $4+12=16$. Różnica promieni prostopadłych do wspólnej stycznej to $8$, więc $AB=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt3$. Pole trapezu $O_1ABO_2$ wynosi $\frac{4+12}{2}\cdot8\sqrt3=64\sqrt3$. Od niego odejmujemy wycinki: $120^\circ$ małego koła i $60^\circ$ dużego, o łącznym polu $\frac{88}{3}\pi$.