MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 23

Zrównujemy $f(x)=g(x)$, a dla otrzymanych $x$ liczymy wspólną wartość $y$.

a) $x^2-x-2=0$, więc punkty to $(-1,3)$ i $(2,0)$ — oba całkowite. b) $x^2-12x+12=0$, więc $x=6\pm2\sqrt6$ — brak całkowitych $x$. c) $x^2+x-2=0$, więc punkty to $(-2,-8)$ i $(1,-2)$. d) $x^2-x-2=0$ daje $(-1,\frac12)$ i $(2,2)$; tylko drugi punkt ma obie współrzędne całkowite.

W każdym układzie wyznaczamy $y$ z równania liniowego, podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy równanie kwadratowe. Następnie obliczamy $y$. Otrzymujemy kolejno:

a) $x=0,3$; b) $x=-4,0$; c) $x=-2,2$; d) $x=-4,2$; e) $x=-1$ (pierwiastek podwójny); f) $x=-1\pm\sqrt3$.

Dwa różne rozwiązania oznaczają dwa punkty przecięcia; pierwiastek podwójny w e) oznacza styczność.

Najpierw rozwiązujemy równanie $f(x)=g(x)$ i porządkujemy pierwiastki $x_1<x_2$. Następnie liczymy $\overrightarrow{P_1P_2}=[x_2-x_1,\ g(x_2)-g(x_1)]$.

a) $x_1=0,x_2=1$; b) $x_{1,2}=\frac{-1\mp\sqrt{17}}4$; c) $x_1=-3,x_2=1$; d) $x_1=-3,x_2=0$.

Wprowadzamy zmienną równą odpowiedniej wartości bezwzględnej.

a) Dla $t=|x|\ge0$ mamy $t^2=t+2$, więc $t=2$ i $x=\pm2$. b) $3-x^2=|x|-3$ daje $t^2+t-6=0$, więc $t=2$ i $x=\pm2$. c) Dla $t=|x-2|\ge0$ mamy $t^2=t$, zatem $t=0$ albo $1$, czyli $x=2$ albo $x=1,3$. Rzędne obliczamy z dowolnego równania.

Granice obszaru wynikają bezpośrednio z nierówności; najpierw ustalamy, dla jakich $x$ dolny wykres leży pod górnym.

a) $x^2-2<2x+1$ daje $-1<x<3$. b) $x-1\le-x^2+1$ daje $-2\le x\le1$. c) $\frac12x^2-2\le-\frac23x+\frac43$ daje $3x^2+4x-20\le0$, czyli $-\\frac{10}{3}\le x\le2$.

W każdym z tych przedziałów zaznaczamy punkty leżące nad dolnym i pod górnym wykresem; linia jest ciągła dla nierówności nieostrej i przerywana dla ostrej.