MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 229

Odcinek koła jest różnicą wycinka o kącie $60^\circ$ i trójkąta równobocznego o boku $r$. Zatem

Ciąg kątów jest arytmetyczny. Z $\frac82(2\alpha_1+7\cdot10^\circ)=360^\circ$ otrzymujemy $\alpha_1=10^\circ$, więc $\alpha_3=30^\circ$, $\alpha_6=60^\circ$, $\alpha_8=80^\circ$.

a) Pole wycinka to $\frac{80}{360}\pi\cdot9=2\pi$. b) Od pól wycinków odejmujemy pola trójkątów o bokach $3,3$:

Korzystamy z długości cięciw i łuków oraz odejmujemy pole wielokąta foremnego od pola koła. Dla trójkąta bok ma $2\sqrt3$, dla kwadratu $2\sqrt2$, a w c) figura jest ośmiokątem foremnym o polu $8\sqrt2$. Zgodnie z zaznaczeniem czerwone linie składają się z odpowiedniej cięciwy i łuku o kącie środkowym wskazanym przez sąsiednie wierzchołki.

a) Zacieniowaną figurę rozkładamy na wycinek $60^\circ$ i trójkąt równoboczny o boku $4$: $\frac{8}{3}\pi+4\sqrt3$.

b) Odległości równoległych cięciw od środka wynoszą $2$ i $2\sqrt3$. Różnica pól odpowiednich odcinków koła to $\frac83\pi$.

c) Z trójkąta prostokątnego na rysunku promień zewnętrzny ma długość $4$. Od pola pierścienia odejmujemy górny odcinek koła: $\pi(4^2-(2\sqrt2)^2)-(4\pi-8)=4\pi+8$.