MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 228

Każde z czterech kół ma średnicę $3$, a więc promień $\frac32$. Zacieniowany obszar leży w środkowym kwadracie o boku $3$; wycinają z niego cztery ćwiartki koła, razem jedno koło o promieniu $\frac32$. Jego pole wynosi $9-\pi\left(\frac32\right)^2=9-\frac94\pi<9.$

Dla krótszego łuku $5\sqrt3=2\cdot5\sin\frac\alpha2$, więc $\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=120^\circ$. Drugi łuk odpowiada kątowi $240^\circ$. Długości łuków i pola wycinków stanowią odpowiednio $\frac13$ i $\frac23$ obwodu oraz pola koła.

Niech $\alpha$ będzie mniejszym kątem środkowym. Z pola trójkąta $\frac12\cdot4^2\sin\alpha=4\sqrt2$ wynika $\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$. Sama treść dopuszcza więc $\alpha=45^\circ$ albo $135^\circ$.

Dla $45^\circ$ pola części wynoszą $2\pi-4\sqrt2$ i $14\pi+4\sqrt2$. Dla $135^\circ$ otrzymujemy $6\pi-4\sqrt2$ i $10\pi+4\sqrt2$.

Z równania $2\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi\cdot6^2$ otrzymujemy $2=\frac{\alpha}{10}$, a więc $\alpha=20^\circ$.

Pole odcinka to pole wycinka minus pole trójkąta $AOB$: $P=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi\cdot12^2-\frac12\cdot12^2\sin\alpha.$ Po podstawieniu $90^\circ$, $60^\circ$ i $30^\circ$ otrzymujemy wyniki poniżej.