MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 226

Promień ma długość $5$ cm. Trójkąt $AOB$ ma wszystkie boki długości $5$ cm, jest więc równoboczny, a kąt środkowy ma $60^\circ$. Stąd $s=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot5=\frac53\pi$.

Promień wynosi $6$ cm. Zatem $s=\frac{75^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6=\frac52\pi\ \text{cm}.$

Kąt $20^\circ$ stanowi $\frac1{18}$ kąta pełnego. Dlatego $2\pi=\frac1{18}\cdot2\pi r$, skąd $r=18$ cm.

Promień wynosi $9$ cm, więc obwód okręgu to $18\pi$ cm. Łuk $4\pi$ jest częścią $\frac{4\pi}{18\pi}=\frac29$ okręgu, zatem odpowiada mu kąt $\frac29\cdot360^\circ=80^\circ$.

Odległość środków wynosi $|x+1|$. Przy styczności zewnętrznej jest ona równa $5+3=8$, a przy wewnętrznej $|5-3|=2$. Rozwiązujemy więc równania $|x+1|=8$ oraz $|x+1|=2$.

Porównujemy odległość $d=|O_1O_2|$ z $r_1+r_2$ i $|r_1-r_2|$.

a) $d=1<2=|4-2|$: okręgi rozłączne wewnętrznie. b) $d=5=4+1$: styczność zewnętrzna. c) $d=3=|5-2|$: styczność wewnętrzna. d) $d=5>2+2\frac12$: okręgi rozłączne zewnętrznie.

Z rysunku wynika, że środek dużego okręgu leży na mniejszym okręgu. Jeśli promienie wynoszą odpowiednio $R$ i $r$, to styczność wewnętrzna daje $R-r=r$, czyli $R=2r$. Ponadto $|O_1O_3|=R+r=18$. Stąd $3r=18$, więc $r=6$ i $R=12$.

Przekątna prostokąta ma długość $\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt5$ cm. Przy styczności zewnętrznej punkt styczności dzieli odcinek środków w stosunku promieni, więc promienie wynoszą $\sqrt5$ i $3\sqrt5$ cm.

Z układu okręgów na rysunku otrzymujemy $r_B-r_A=|AB|=3$, $r_A+r_C=|AC|=4$ oraz $r_B-r_C=|BC|=1$. Rozwiązanie tego układu to $r_A=1$, $r_B=4$, $r_C=3$.

Niech promienie będą $x,y,z$. Długości boków trójkąta środków są sumami promieni, zatem $x+y=5$, $x+z=6$, $y+z=7$. Po dodaniu równań $2(x+y+z)=18$, więc $x+y+z=9$.