MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 221

Przeciwprostokątna ma $\sqrt{(\sqrt2)^2+(2\sqrt2)^2}=\sqrt{10}$. Dla dwóch kątów ostrych sinusy są równe ilorazom obu przyprostokątnych przez tę samą przeciwprostokątną. Iloczyn wynosi $(\sqrt2/\sqrt{10})(2\sqrt2/\sqrt{10})=2/5$.

Trójkąt $AOB$ jest równoramienny o ramionach 6. Promień poprowadzony do środka $M$ cięciwy jest prostopadły do $AB$. W trójkącie $AOM$, $AM=6\cos\alpha$. Z $\sin\alpha=0{,}8$ mamy $\cos\alpha=0{,}6$, więc $AM=3{,}6$ i $AB=7{,}2$.

Niech $AP=x$, wtedy $BP=8-x$. Z twierdzenia Pitagorasa w dwóch trójkątach prostokątnych: $AC^2-BC^2=x^2-(8-x)^2$. Zatem $64-36=16x-64$, więc $x=23/4$. Stąd $BP=9/4$.

Warunek $(1/\sin\alpha)^2=5$ daje $\sin^2\alpha=1/5$. Stąd $\cos^2\alpha=4/5$. Kąt jest rozwarty, więc cosinus jest ujemny: $\cos\alpha=-2\sqrt5/5$.

Z twierdzenia Pitagorasa: $(2x)^2+(x-2{,}5)^2=(2x+0{,}5)^2$. Po rozwinięciu otrzymujemy $x=6$. Boki trójkąta to $12$, $3{,}5$ i $12{,}5$, więc obwód 28. Dla kąta przy $A$: $\sin=3{,}5/12{,}5=7/25$, $\cos=12/12{,}5=24/25$, $\tan=7/24$, $\cot=24/7$.

Niech kolejne parzyste boki będą $n,n+2,n+4$. Równanie Pitagorasa $n^2+(n+2)^2=(n+4)^2$ daje dodatnie $n=6$. Boki to $6,8,10$. Sinusy kątów ostrych wynoszą $6/10$ i $8/10$, więc ich suma to $7/5$, a kwadrat $49/25$.

Różnica podstaw wynosi $7+3\sqrt3-4=3+3\sqrt3$. Dla wysokości 3 kąt $45^\circ$ daje rzut 3, a drugi rzut ma $3\sqrt3$, czyli drugi kąt ostry wynosi $30^\circ$. Kąty rozwarte mają $135^\circ$ i $150^\circ$, zatem $\cos135^\circ\cos150^\circ=(-\sqrt2/2)(-\sqrt3/2)=\sqrt6/4$.

Skan pokazuje, że $AC=120$, kąt między $AB$ i $AC$ ma $32^\circ$, a między $AC$ i $AE$ — $8^\circ$; zatem $\angle BAE=40^\circ$. Mamy $AB=120\cos32^\circ$, $BC=120\sin32^\circ$ oraz $BE=AB\tan40^\circ$. Stąd