MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 220

Przy ustalonej przeciwprostokątnej $c$ pole $P=ab/2$ jest największe, gdy $a=b=c/\sqrt2$. Wtedy $P_{\max}=\frac12(c/\sqrt2)^2=c^2/4$. Taka wartość jest osiągalna.

Niech krótsza podstawa i ramiona mają długość $x$, a dłuższa podstawa $2x$. Po wyśrodkowaniu podstaw poziomy rzut ramienia ma $x/2$, więc wysokość $x\sqrt3/2$. Wektory przekątnych są proporcjonalne do $(3/2,\sqrt3/2)$ i $(-3/2,\sqrt3/2)$; kąt ostry między prostymi ma $60^\circ$.

Dla kąta ostrego $\cos\alpha=\sqrt{1-1/25}=\sqrt{24}/5=2\sqrt6/5$.

Cosinus kąta ostrego maleje od 1 do 0. $\cos60^\circ=1/2>1/3>0=\cos90^\circ$, więc $\alpha\in(60^\circ,90^\circ)$.

Przyprostokątna naprzeciw danego kąta ma $50\cdot24/25=48$. Druga ma $\sqrt{50^2-48^2}=14$. Obwód wynosi $48+14+50=112$.

Dla $60^\circ$ sprawdzamy odpowiedzi. W C lewa strona to $\cos60^\circ+\sin60^\circ=(1+\sqrt3)/2$. Prawa strona $1/(\sqrt3-1)$ po usunięciu niewymierności ma tę samą wartość. Pozostałe równości dają inne liczby.

W D: $\sin^230^\circ+\cos^245^\circ+\frac14\tan45^\circ =1/4+1/2+1/4=1$. Pozostałe wyrażenia nie mają wartości 1.

Ponieważ $\sin151^\circ=\sin29^\circ=\cos61^\circ$, iloraz w D wynosi 1. Pozostałe działania na tych wartościach nie dają 1.

Podstawiamy $\sin150^\circ=1/2$, $\tan135^\circ=-1$, $\tan120^\circ=-\sqrt3$, $\cos150^\circ=-\sqrt3/2$. Otrzymujemy $(-1/2)\cdot2=-1$, czyli liczbę przeciwną do 1.