MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 222

Ponieważ $\alpha<\beta$ i są dopełniające do $180^\circ$, $\alpha$ jest ostry, a $\cos\beta=-\cos\alpha$. Z $\sin\alpha=1/4$ mamy $\cos\alpha=\sqrt{15}/4$. Zatem $1+\cos\beta=1-\sqrt{15}/4\approx0{,}031754$. Pierwsze trzy cyfry po przecinku to 031.

Z $(x-3)^2=0$ mamy $x=3$, a z $(2y-1)^2=0$ — $y=1/2$. Stąd $\sin\alpha=(1/2)/\sqrt{9+1/4}=1/\sqrt{37}=\sqrt{37}/37 \approx0{,}164399$.

Dla kąta ostrego $\sin\alpha=\tan\alpha/\sqrt{1+\tan^2\alpha}$. Po podstawieniu $\tan22^\circ30'=\sqrt2-1$ i uproszczeniu: $\sin22^\circ30'=\sqrt{2-\sqrt2}/2\approx0{,}382683$.

Ustawmy $A=(0,0)$, $B=(11,0)$, $D=(3,4)$, $C=(8,4)$; wszystkie trzy wskazane boki mają wtedy 5. Środek $M=(3/2,2)$. Prosta $CM$ przecina oś $AB$ w $P=(-5,0)$. Zatem $AP=5$, $AM=5/2$, $PM=\sqrt{185}/2$. Pole przy podstawie $AP$ i wysokości 2 wynosi 5, a obwód $(15+\sqrt{185})/2$.

a) $AB\perp BD$, a $\angle BAD=30^\circ+45^\circ=75^\circ$. Stąd $BD=6\tan75^\circ=6(2+\sqrt3)$ i $P_{ABD}=\frac12\cdot6\cdot BD=18(2+\sqrt3)$. b) Ze wzorów na różnicę kątów: $\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=(\sqrt6-\sqrt2)/4$ oraz $\cos15^\circ=(\sqrt6+\sqrt2)/4$.

Jeśli bok rombu ma $a$, to $P=a^2\sin30^\circ=a^2/2$, więc $a=\sqrt{2P}$. Przekątne mają $2a\sin15^\circ$ i $2a\cos15^\circ$. Ich suma to $2a(\sin15^\circ+\cos15^\circ)=a\sqrt6=2\sqrt{3P}$.

a) Pole można zapisać jako $P=ah_a/2=bh_b/2$, więc $a/b=h_b/h_a$. To dokładnie odwrotna proporcjonalność boków i odpowiadających im wysokości. b) Dla boków $4,5,7$ półobwód wynosi 8, a z Herona $P=\sqrt{8\cdot4\cdot3\cdot1}=4\sqrt6$. Z $h_a=2P/a$ dostajemy: na bok 4 — $2\sqrt6$, na bok 5 — $8\sqrt6/5$, na bok 7 — $8\sqrt6/7$.