MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 216

Niech boki prostokąta będą $a,b$. Z obwodu trójkąta $a+b+10=24$, więc $a+b=14$. Ponieważ $a^2+b^2=100$, $196=(a+b)^2=100+2ab$, stąd $ab=48$.

a) Tangens $2{,}4=12/5$ daje proporcję $5:12:13$. Suma 30 części odpowiada obwodowi 60, więc boki to $10,24,26$. b) Dla sinusa $1/3$ przyjmujemy boki $x,2\sqrt2x,3x$. Pole $\sqrt2x^2=4\sqrt2$ daje $x=2$, stąd obwód $8+4\sqrt2$. c) $\cos\beta=\sin\alpha$, więc $\sin^2\alpha=1/8$. Przy przeciwprostokątnej 16 pole wynosi $\frac{16^2}{2}\sin\alpha\cos\alpha=16\sqrt7$.

Obliczamy długości boków ze wzoru na odległość punktów i rozpoznajemy trójkąty prostokątne. a) Boki $2,3,\sqrt{13}$: przy $B$ wartości $(2\sqrt{13}/13, 3\sqrt{13}/13,2/3,3/2)$, przy $C$ zamienione. b) Boki $4,6,2\sqrt{13}$: przy $A$ te same wartości, przy $C$ zamienione. c) Boki $5,12,13$: przy $A$ $(5/13,12/13,5/12,12/5)$, przy $B$ zamienione. d) Boki $3\sqrt5,4\sqrt5,5\sqrt5$: przy $A$ $(4/5,3/5,4/3,3/4)$, przy $B$ zamienione.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i definicji ilorazowych. Otrzymujemy: a) $\cos=3\sqrt{11}/10$, $\tan=\sqrt{11}/33$, $\cot=3\sqrt{11}$; b) $\sin=\sqrt{19}/10$, $\tan=\sqrt{19}/9$, $\cot=9\sqrt{19}/19$; c) $\sin=\sqrt{35}/6$, $\tan=\sqrt{35}$, $\cot=\sqrt{35}/35$; d) $\cos=\sqrt6/3$, $\tan=\sqrt2/2$, $\cot=\sqrt2$; e) $\sin=8/17$, $\cos=15/17$, $\cot=15/8$; f) $\sin=\sqrt{30}/6$, $\cos=\sqrt6/6$, $\cot=\sqrt5/5$; g) $\sin=2\sqrt5/5$, $\cos=\sqrt5/5$, $\tan=2$; h) $\sin=5\sqrt{146}/146$, $\cos=11\sqrt{146}/146$, $\tan=5/11$.

Wysokość dzieli trójkąt na dwa prostokątne. a) Połowa kąta wierzchołkowego ma $20^\circ$. Ramię $6/\cos20^\circ\approx6{,}39$, podstawa $12\tan20^\circ\approx4{,}37$; kąty przy podstawie po $70^\circ$. b) Dla połowy podstawy $x$ i ramienia $s$: $s+x=17$ oraz $s^2-x^2=169$. Stąd $s=229/17$, $x=60/17$, podstawa $120/17$; kąty około $75^\circ,75^\circ,30^\circ$. c) Dla połowy podstawy $x$, $h=x\tan40^\circ$ i $xh=12$. Stąd $x\approx3{,}782$, $h\approx3{,}173$, podstawa $\approx7{,}56$, ramię $\approx4{,}94$; kąty $40^\circ,40^\circ,100^\circ$.

a) Jeśli $x$ jest odległością od wieży, to $\tan12^\circ=70/x$, stąd $x\approx329{,}26$ m. b) Kąt liny z poziomem spełnia $\tan\alpha=110/40$, więc $\alpha\approx70^\circ$.