MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 217

Wysokość 6 i bok $AC=4\sqrt3$ dają $\sin A=6/(4\sqrt3)=\sqrt3/2$, więc $A=60^\circ$. Ponieważ $C=75^\circ$, $B=45^\circ$. Rzuty na podstawę mają długości $2\sqrt3$ i 6, zatem $AB=6+2\sqrt3$. Pole to $AB\cdot6/2=18+6\sqrt3$.

Możemy przyjąć $A=(-3\sqrt3,0)$, $B=(3\sqrt3,0)$, $C=(0,3)$. Wysokości przecinają się w $H=(0,9)$. Stąd $HC=6$, a $HA=HB=\sqrt{(3\sqrt3)^2+9^2}=6\sqrt3$.

Punkt Fermata leży na osi symetrii. Niech $PA=PB=x$, $PC=y$. Z $\angle APB=120^\circ$ i $AB=2$: $4=x^2+x^2-2x^2\cos120^\circ=3x^2$, więc $x=2/\sqrt3$. Z $AC=\sqrt2$ i $\angle APC=120^\circ$: $2=x^2+y^2+xy$, co daje dodatnie $y=1-1/\sqrt3$. Zatem $PA+PB+PC=4/\sqrt3+1-1/\sqrt3=1+\sqrt3$.

Skan pokazuje kolejność $A-B-C$; $O$ leży 4,5 m nad $A$. Zatem $AB=4{,}5/\tan32^\circ$, $AC=4{,}5/\tan18^\circ$, a szerokość rzeki $BC=AC-AB\approx6{,}65$ m.

a) Różnica poziomów to $500\sin5^\circ\approx43{,}6$ m. b) Droga potrzebna do uzyskania 130 m w pionie ma $s=130/\sin5^\circ\approx1491{,}6$ m. Przy prędkości 4,5 km/h czas wynosi około $0{,}3315$ h, czyli około 20 minut.

Skan pokazuje kolejność $A-B-C$ i punkt $B$ bliżej góry. Niech $BC=x$, wtedy $AC=x+800$. Z równości wysokości: $x\tan50^\circ=(x+800)\tan29^\circ$. Stąd $x\approx695{,}66$, a $SC=x\tan50^\circ\approx829$ m.