MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 212

a) Przekątne deltoidu są prostopadłe, a oś symetrii dzieli drugą przekątną na połowy. Cztery trójkąty prostokątne mają zatem łączne pole $d_1d_2/2$. b) Połowa krótszej przekątnej ma 3. Odległości jej środka od końców dłuższej przekątnej wynoszą $\sqrt{(3\sqrt2)^2-3^2}=3$ oraz $\sqrt{5^2-3^2}=4$. Dłuższa przekątna ma 7, więc pole wynosi $6\cdot7/2=21$.

Trapez jest równoramienny: podstawy mają 50 i 20, ramiona po 25. Wysokość wynosi $\sqrt{25^2-15^2}=20$. Niech linia podziału leży na części $t$ wysokości liczonej od podstawy 20. Jej długość to $x=20+30t$. Równość obwodów części daje $20+x+50t=x+50+50(1-t)$, więc $t=4/5$ i $x=44$. Pola wynoszą $\frac{20+44}{2}\cdot16=512$ oraz $\frac{44+50}{2}\cdot4=188$. Na ogrodzenie obu działek potrzeba obwodu zewnętrznego 120 m oraz wspólnej linii 44 m, pomniejszonych o dwie furtki: $120+44-3=161$ m.

a) Trójkąty $ABD$ i $ABC$ mają wspólną podstawę $AB$ i równe wysokości, bo $CD\parallel AB$. Po odjęciu wspólnego trójkąta $ABE$ zostaje $[AED]=[BEC]$. b) Z podobieństwa $ABE\sim CDE$ skala wynosi $AB/CD=4$. Ponadto $AE/EC=4$, więc $[ABE]=4[BEC]=96/5$ i $[CDE]=[BEC]/4=6/5$. Dodając cztery części: $96/5+24/5+24/5+6/5=30$. c) Z podobieństwa $S_1/S_2=(AB/CD)^2$. Każde z pól krzyżowych jest średnią geometryczną $\sqrt{S_1S_2}$, zatem suma czterech pól to $S_1+S_2+2\sqrt{S_1S_2}$.

Niech $E,F$ będą środkami ramion. W zapisie wektorowym $E=(A+D)/2$, $F=(B+C)/2$, więc $\overrightarrow{EF}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}).$ Wektory podstaw są równoległe, zgodnie skierowane i mają długości $a,b$. Stąd $EF\parallel AB\parallel CD$ oraz $|EF|=(a+b)/2$.

Z wzoru na odcinek środkowy $10=(7{,}5+B)/2$, więc dłuższa podstawa $B=12{,}5$. Jeśli rzuty ramion 3 i 4 na podstawę mają $x,y$, to $x+y=5$ oraz $y^2-x^2=4^2-3^2=7$. Stąd $y-x=7/5$, więc $x=9/5$, $y=16/5$. Wysokość $h=\sqrt{3^2-(9/5)^2}=12/5$. Pole to $10h=24$.

Odcinek środkowy ma 8. Niech podstawy będą $a>b$, $a+b=16$. Połowy trapezu mają tę samą wysokość, więc $(b+8):(a+8)=3:5$. Stąd $b=4$, $a=12$. Rzuty ramion $x,y$ spełniają $x+y=8$ i $y^2-x^2=9^2-7^2=32$, zatem $y-x=4$, czyli $x=2$, $y=6$. Wysokość wynosi $\sqrt{7^2-2^2}=3\sqrt5$, a pole $8\cdot3\sqrt5=24\sqrt5$.

Niech krótsza podstawa ma $x$, dłuższa $2x$, a wysokość $h$. Rzut ramienia ma $x/2$, a rzut przekątnej $3x/2$. Jeśli kąt ostry to $\theta$, warunek dwusiecznej daje $\tan(\theta/2)=2h/(3x)$, zaś $\tan\theta=2h/x$. Po użyciu wzoru na tangens podwojonego kąta otrzymujemy $h=x\sqrt3/2$, zatem $\theta=60^\circ$, a ramię ma $x$. Pole $S=\frac{3x}{2}\cdot\frac{x\sqrt3}{2}=3\sqrt3x^2/4$. Stąd $x=\frac23\sqrt[4]3\sqrt S$.

Dla podstaw 20 i 80 oraz ramion 50 wysokość wynosi $\sqrt{50^2-30^2}=40$. Długości przekrojów równoległych zmieniają się liniowo. Przekrój dzielący trapez na równe pola ma długość równą średniej kwadratowej podstaw: $x=\sqrt{\frac{20^2+80^2}{2}}=\sqrt{3400}=10\sqrt{34}.$ Jest to około $58{,}3$ m.