MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 211

a) $P=4\cdot9\sin150^\circ=18$. b) Niech boki mają $a,b$. Z obwodu $a+b=12$, a z pola $ab\cdot0{,}25=8$, czyli $ab=32$. Pierwiastkami równania $t^2-12t+32=0$ są 4 i 8. Wysokości wynoszą $8/4=2$ i $8/8=1$.

a) Przekątne dzielą się na połowy. Cztery trójkąty wokół punktu przecięcia mają łączne pole $4\cdot\frac12(p/2)(q/2)\sin\alpha=\frac12pq\sin\alpha$. b) Przekątne leżą po przeciwnych stronach danego boku, więc kąt między nimi ma $12^\circ+33^\circ=45^\circ$. Stąd $P=\frac12\cdot6\cdot10\sin45^\circ=15\sqrt2$.

Niech przekątne mają $q$ i $3q$. Z $16\sqrt2=\frac12\cdot q\cdot3q\cdot2\sqrt2/3$ wynika $q=4$, więc ich połowy mają długości 2 i 6. Cosinus ostrego kąta między nimi wynosi $1/3$. Dla wektorów połówek $u,v$ iloczyn $(u-v)\cdot v=|u||v|\cos\alpha-|v|^2=6\cdot2/3-4=0$, co dowodzi prostopadłości krótszego boku do krótszej przekątnej. Długości boków to $\sqrt{36+4-24/3}=4\sqrt2$ i $\sqrt{36+4+24/3}=4\sqrt3$, więc obwód $8(\sqrt2+\sqrt3)$.

a) Połówki przekątnych mają 6 i 8, więc bok rombu ma 10, a pole $12\cdot16/2=96$. Z $P=a^2\sin\alpha$ mamy $\sin\alpha=96/100=0{,}96$. b) Bok ma $48/4=12$, zatem wysokość $h=P/a=108/12=9$.

Niech boki prostokąta mają $x,y$. $x^2+y^2=12^2$. Przekątne rombu środkowego mają długości $x,y$, więc $xy/2=12\sqrt3$. Bok rombu jest równy połowie przekątnej prostokąta, czyli 6. Z $36\sin\alpha=12\sqrt3$ mamy $\sin\alpha=\sqrt3/3$. Stąd $\cos\alpha=\sqrt6/3$, $\tan\alpha=\sqrt2/2$, $\cot\alpha=\sqrt2$.

Niech wysokość będzie $h$, dłuższa podstawa $a$, krótsza $b$. Kąt $45^\circ$ daje $a-b=h$. Z tangensa kąta dłuższej przekątnej $h/a=1/3$, więc $a=3h$, $b=2h$. Pole $\frac{a+b}{2}h=5h^2/2=90$ daje $h=6$. Ramię ukośne ma $6\sqrt2$, więc obwód $18+12+6+6\sqrt2=6(6+\sqrt2)$.

Skan pokazuje $AB\parallel DC$, $BC\perp AB$ i skośne ramię $AD$. Z $\sin\angle DAB=\sqrt5/3$ otrzymujemy wysokość $h=10\sqrt5/3$ oraz poziomy rzut $AD$ równy $10\cdot2/3=20/3$. Zatem $DC=14-20/3=22/3$. Pole:

a) Połowa różnicy podstaw wynosi 3. Wysokość to $3\tan30^\circ=\sqrt3$, więc $P=(4+10)\sqrt3/2=7\sqrt3$. b) Wysokość z $18=(2+4)h/2$ wynosi 6. Wektory przekątnych można przyjąć jako $(3,6)$ i $(-3,6)$. Sinus kąta między nimi to $|3\cdot6-6(-3)|/(\sqrt{45}\sqrt{45})=36/45=0{,}8$.