MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 208

Stosujemy wzór Herona. a) $p=6$: $P=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=6$ — Herona. b) $p=8$: $P=\sqrt{8\cdot4\cdot3\cdot1}=4\sqrt6$ — nie. c) $p=8$: $P=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12$ — Herona. d) $p=9$: $P=\sqrt{9\cdot5\cdot3\cdot1}=3\sqrt{15}$ — nie. e) $p=18$: $P=\sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1}=36$ — Herona. f) $p=21$: $P=\sqrt{21\cdot14\cdot6\cdot1}=42$ — Herona.

Pole danego trójkąta wynosi $\frac12x\cdot2x\sin120^\circ=x^2\sqrt3/2$. Pole trójkąta równobocznego o boku $x$ to $x^2\sqrt3/4$. Pierwsza liczba jest dwa razy większa.

Niech ramię ma długość $l$. Kąt między ramionami wynosi $150^\circ$, więc pole jest równe $\frac12l^2\sin150^\circ=l^2/4$. Z drugiej strony, dla podstawy $a$ i wysokości $h$, pole wynosi $ah/2$. Porównanie daje $l^2=2ah$, czyli $l=\sqrt{2ah}$.

Z twierdzenia sinusów $b=a\sin\beta/\sin\alpha$ i $c=a\sin\gamma/\sin\alpha$. Podstawiamy do $P=bc\sin\alpha/2$: $P=\frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}.$ Po wyznaczeniu dodatniej długości $a$ otrzymujemy wskazany wzór.

Pole jest niezmiennicze przy przekształceniach afinicznych, więc przyjmijmy $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(0,1)$. Wtedy $R=(2/3,0)$, $P=(1/3,2/3)$, $Q=(0,1/3)$. Proste mają równania $AP:y=2x$, $BQ:y=(1-x)/3$, $CR:y=1-3x/2$. Ich przecięcia to $(1/7,2/7)$, $(4/7,1/7)$, $(2/7,4/7)$. Pole środkowego trójkąta jest $1/14$, a $ABC$ — $1/2$, więc stosunek pól wynosi $1/7$. Dla pola 21 otrzymujemy 3.