MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 207

a) $P=\frac12\cdot7\cdot5\sin120^\circ =35\sqrt3/4$. b) Kąt między ramionami ma $180^\circ-2\cdot22^\circ30'=135^\circ$. Zatem $P=\frac12\cdot8^2\sin135^\circ=16\sqrt2$.

Niech ramię ma $s$. Podstawa przy kącie wierzchołkowym $120^\circ$ ma $s\sqrt3$. Z obwodu $s(2+\sqrt3)=12+8\sqrt3$ otrzymujemy $s=4\sqrt3$, a podstawę 12. Pole całego trójkąta wynosi $12\sqrt3$. Ponieważ $P$ jest środkiem $BC$, $[APC]=\frac12[ABC]=6\sqrt3$. Z $AR:RB=3:2$ wynika $[ARC]=\frac35[ABC]=36\sqrt3/5$. W trójkącie $PRB$ podstawa stanowi $2/5$ podstawy $AB$, a wysokość punktu $P$ jest połową wysokości $C$, więc $[PRB]=\frac15[ABC]=12\sqrt3/5$.

a) Niech wysokość ma $h$, wtedy podstawa ma $4h$. Z $\frac12\cdot4h\cdot h=36$ mamy $h=3\sqrt2$ i podstawę $12\sqrt2$. Ramię ma $\sqrt{(6\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2}=3\sqrt{10}$, więc obwód $6(2\sqrt2+\sqrt{10})$. b) Jeśli podstawa ma $b$, to $h=b\sqrt3/6$. Równanie $bh/2=12\sqrt3$ daje $b=12$, $h=2\sqrt3$. Tangens kąta przy podstawie wynosi $h/6=\sqrt3/3$, więc kąty to $30^\circ,30^\circ,120^\circ$. Ramię ma $4\sqrt3$, a obwód $4(3+2\sqrt3)$.

Przyjmijmy $A=(0,0)$, $B=(8,0)$, $C=(8,8)$, $D=(0,8)$. Wtedy $E=(0,4)$, $F=(4,0)$. $EF=4\sqrt2$, a $EC=FC=4\sqrt5$. Pole z iloczynu wektorowego $(4,-4)$ i $(8,4)$ wynosi $|16+32|/2=24$.

Kąty przy podstawie mają $45^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny równoramienny o przyprostokątnych 12. a) Wysokość na przeciwprostokątną ma $h=12\cdot12/(12\sqrt2)=6\sqrt2$. b) Odcinek dzieli kąt prosty na $60^\circ$ i $30^\circ$. Z twierdzenia o dwusiecznej trygonometrycznej stosunek pól jest równy $\sin60^\circ:\sin30^\circ=\sqrt3:1$. Całe pole to 72, więc części mają pola $36(3-\sqrt3)$ i $36(\sqrt3-1)$.

Niech ramię ma $s$, a podstawa $b$. $s/(2s+b)=3/10$ daje $b=4s/3$. Wysokość ma $\sqrt{s^2-(2s/3)^2}=s\sqrt5/3$. Z pola $\frac12(4s/3)(s\sqrt5/3)=8\sqrt5$ wynika $s=6$, a $b=8$.

W prostokątnym $ACB$ przeciwprostokątna $AB=10$ i $AC=5\sqrt3$, więc $BC=5$ oraz $\angle ABC=60^\circ$. Z $BD=BC=5$ i współliniowości $A,B,D$ mamy $\angle CBD=120^\circ$. Twierdzenie cosinusów daje $CD=5\sqrt3$. Stąd $Ob=10+5\sqrt3=5(2+\sqrt3)$ i $P=\frac12\cdot5\cdot5\sin120^\circ=25\sqrt3/4$.

Dla ustalonych boków $a,b$ pole jest równe $P=ab\sin\gamma/2$. Współczynnik $ab/2$ jest stały, a największa wartość sinusa wynosi 1 i występuje dla $\gamma=90^\circ$.