MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 202

Skan pozwala odczytać punkty $P=(-1,4)$, $Q=(-2,1)$ i $R=(-4,5)$. Stosujemy $r=\sqrt{x^2+y^2}$. a) $r_P=\sqrt{17}$: $(\sin,\cos,\tan,\cot)=(4\sqrt{17}/17, -\sqrt{17}/17,-4,-1/4)$. b) $r_Q=\sqrt5$: $(\sqrt5/5,-2\sqrt5/5,-1/2,-2)$. c) $r_R=\sqrt{41}$: $(5\sqrt{41}/41,-4\sqrt{41}/41,-5/4,-4/5)$.

Stosujemy $\sin\alpha=y/r$. a) Dla $P=(-2,4)$ mamy $2\sqrt5/5$, a dla $Q=(4,2)$ — $\sqrt5/5$; różnica to $\sqrt5/5$. b) Dla $P=(-9,3)$ sinus to $\sqrt{10}/10$, a dla $Q=(2,6)$ $3\sqrt{10}/10$; różnica wynosi $-\sqrt{10}/5$.

Stosujemy $\cos=x/\sqrt{x^2+y^2}$. a) Dla $P=(3,1)$ cosinus to $3\sqrt{10}/10$, a dla $Q=(-1,1/2)$ — $-2\sqrt5/5$; suma $(3\sqrt{10}-4\sqrt5)/10$. b) Punkty $(-2,4)$ i $(-4,2)$ dają odpowiednio $-\sqrt5/5$ i $-2\sqrt5/5$, czyli $-3\sqrt5/5$. c) Dla $(-2,\sqrt2)$ mamy $-\sqrt6/3$, a dla $(\sqrt2/2,1)$ $\sqrt3/3$; suma $(\sqrt3-\sqrt6)/3$.

Korzystamy z kątów odniesienia. $135^\circ=180^\circ-45^\circ$, więc $(\sin,\cos,\tan,\cot)=(\sqrt2/2,-\sqrt2/2,-1,-1)$. $150^\circ=180^\circ-30^\circ$, więc $(1/2,-\sqrt3/2,-\sqrt3/3,-\sqrt3)$.

Dla punktu $P=(x,y)$ na ramieniu końcowym kąta i $r=\sqrt{x^2+y^2}$ mamy $\sin\alpha=y/r$, $\cos\alpha=x/r$. Stąd $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=(y^2+x^2)/r^2=1$. Ilorazy definicji dają $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ i $\cot\alpha=\cos\alpha/\sin\alpha$, a ich iloczyn jest równy 1 wszędzie, gdzie obie funkcje są określone.

Ponieważ kąt leży w II ćwiartce, cosinus jest ujemny. a) $\cos^2=1-9/25=16/25$, więc $\cos=-4/5$. b) $\cos^2=1-4/9=5/9$, więc $\cos=-\sqrt5/3$. c) $\cos^2=1-1/5=4/5$, więc $\cos=-2\sqrt5/5$.

W II ćwiartce sinus jest dodatni. a) $\sin^2=1-16/25=9/25$, więc $\sin=3/5$. b) $\sin^2=1-1/9=8/9$, więc $\sin=2\sqrt2/3$. c) $\sin^2=1-1/10=9/10$, więc $\sin=3\sqrt{10}/10$.