MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 196

Stosujemy jedynkę trygonometryczną i ilorazy. a) $(\sin,\tan,\cot)=(3/5,3/4,4/3)$. b) $(12/13,12/5,5/12)$. c) $(\cos,\tan,\cot)=(2\sqrt2/3,\sqrt2/4,2\sqrt2)$. d) $(\sqrt{21}/5,2\sqrt{21}/21,\sqrt{21}/2)$. e) $(\sin,\tan,\cot)=(6/7,6\sqrt{13}/13,\sqrt{13}/6)$. f) $(\sin,\cos,\cot)=(3\sqrt{13}/13,2\sqrt{13}/13,2/3)$. g) $(\sin,\cos,\cot)=(12/13,5/13,5/12)$. h) $(\sin,\cos,\tan)=(5\sqrt{41}/41,4\sqrt{41}/41,5/4)$.

a) Niech $\cos\alpha=x$, zatem $\sin\alpha=3x$. Równanie $x^2+9x^2=1$ daje $\sin\alpha=3\sqrt{10}/10$. b) Niech $\sin\alpha=x$ i $\cos\alpha=2x$. Wtedy $5x^2=1$, więc $\cos\alpha=2\sqrt5/5$.

Sprawdzamy jedynkę trygonometryczną i $\tan\alpha\cot\alpha=1$. a) $8/9+1/9=1$ — dane możliwe. b) Z $\cos=1/5$ wynikałoby $\tan=2\sqrt6$, nie wartość podana — niemożliwe. c) Z $\cos=\sin/\tan=\sqrt{10}/4$ suma kwadratów nie wynosi 1 — niemożliwe. d) $(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=1$ — dane możliwe.

a) Dla stosunku boków $1:2:\sqrt5$ mamy $k\sqrt5=10$, czyli $k=2\sqrt5$. b) Dla stosunku $3:2:\sqrt{13}$ mamy $k\sqrt{13}=39$, czyli $k=3\sqrt{13}$.

W trójkącie prostokątnym funkcje kątów dopełniających spełniają $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ i $\cot(90^\circ-\alpha)=\tan\alpha$. a) $\cos=3/10$, więc $\sin=\sqrt{91}/10$, $\tan=\sqrt{91}/3$, $\cot=3\sqrt{91}/91$. b) $\sin=\sqrt3/2$, więc $\cos=1/2$, $\tan=\sqrt3$, $\cot=\sqrt3/3$. c) $\tan=2/5$ odpowiada bokom $2,5,\sqrt{29}$, więc $\sin=2\sqrt{29}/29$, $\cos=5\sqrt{29}/29$, $\cot=5/2$.