MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 197

Dla kątów dopełniających zachodzą $\sin\alpha=\cos\beta$, $\cos\alpha=\sin\beta$ i $\tan\alpha=\cot\beta$. Bezpośrednie sprawdzenie danych daje zgodność w a), c), d); w b) pierwsza z tych równości nie zachodzi.

Z $\tan\alpha=2/\sqrt5$ bierzemy boki $2,\sqrt5,3$, więc $\sin=2/3$, $\cos=\sqrt5/3$. a) $\frac{6(2/3)-8(5/9)}{4/9}=-1$. b) Licznik to $(1-\sin^2\alpha)^2=\cos^4\alpha$, a mianownik $\cos^2\alpha$, więc iloraz wynosi $\cos^2\alpha=5/9$.

Dla kąta ostrego $\sin\alpha=\sqrt{1-m^2}$. Stąd kolejno: a) $1-\sin^2\alpha=m^2$; b) $\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=1-2m^2$; c) $(\sin+\cos)^2=1+2m\sqrt{1-m^2}$; d) $\cos\tan+\sin\cot=\sin+\cos=m+\sqrt{1-m^2}$.

Po podzieleniu jedynki przez $\cos^2\alpha$ mamy $1+\tan^2\alpha=1/\cos^2\alpha$. a) Dla $\tan=1/2$: $(\sin,\cos,\cot)=(\sqrt5/5,2\sqrt5/5,2)$. b) Dla $2/3$: $(2\sqrt{13}/13,3\sqrt{13}/13,3/2)$. c) Dla $\sqrt5$: $(\sqrt{30}/6,\sqrt6/6,\sqrt5/5)$.

Po podzieleniu jedynki przez $\sin^2\alpha$ mamy $1+\cot^2\alpha=1/\sin^2\alpha$. a) Stosunek $1:7$ daje $(\sin,\cos,\tan)=(7\sqrt2/10,\sqrt2/10,7)$. b) Stosunek $3:1$ daje $(\sqrt{10}/10,3\sqrt{10}/10,1/3)$. c) Trójkąt $20$-$21$-$29$ daje $(21/29,20/29,21/20)$.

Niech $s=\sin\alpha$, $c=\cos\alpha$. Z $(s+c)^2=49/25=1+2sc$ mamy $sc=12/25=0{,}48$. Następnie $(s-c)^2=1-2sc=1/25$, więc $s-c=\pm0{,}2$. Wreszcie $s^3-c^3=(s-c)(1+sc)=\pm37/125=\pm0{,}296$.

W a)–e) stosujemy rozkład różnicy kwadratów, rozwinięcie kwadratu sumy oraz $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Przykładowo w c): $1-2\cos^2=\sin^2-\cos^2 =(\sin-\cos)(\sin+\cos)$. W f) licznik jest równy $-\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ i mianownik ma tę samą wartość, więc iloraz wynosi 1. To kończy wszystkie wskazane przekształcenia.