MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 193

a) Ramię ma $(32-6-10)/2=8$, a jego rzut na podstawę $(10-6)/2=2$. Zatem $\cos\alpha=1/4$, więc kąty mają około $75^\circ30'$ i $104^\circ30'$. b) Rzut przekątnej na podstawę to $(8+4)/2=6$, zaś wysokość 8, więc $\tan\alpha=8/6$ i $\alpha\approx53^\circ$. c) Przekątna 13 i wysokość 5 tworzą trójkąt $5$-$12$-$13$; po użyciu prostopadłości przekątnej i ramienia otrzymujemy około $67^\circ$ i $113^\circ$.

Opuszczamy z $C$ wysokość $CE$ na $AB$. Wtedy $AE=DC=15$, a w trójkącie $BCE$: $BE=10\cos54^\circ\approx5{,}88$ i $CE=10\sin54^\circ\approx8{,}09$. Stąd $AB=15+BE\approx20{,}88$ oraz $AD=CE\approx8{,}09$. Ponadto $\tan\angle DCA=AD/DC\approx8{,}09/15$, więc $\angle DCA\approx28^\circ$.

a) Przekątne deltoidu są prostopadłe, a jedna dzieli drugą na połowy. Odcinki mają więc długości $10,10,20,10$. Kąty przy końcach dłuższej przekątnej to $2\arctan(10/20)\approx53^\circ$ i $2\arctan(10/10)=90^\circ$. Dwa pozostałe mają po około $108^\circ30'$. b) Drugi bok równoległoboku ma $(90-60)/2=15$. Z $\sin\alpha=10/15=2/3$ otrzymujemy około $42^\circ$ i $138^\circ$.

Przyjmijmy bok rombu równy 4. Wysokość może spaść na bok albo jego przedłużenie, więc rzut boku ma długość 1 lub 3. Daje to $\cos\alpha=1/4$ albo $\cos\alpha=3/4$, czyli odpowiednio $\alpha\approx75^\circ30'$ albo $\alpha\approx41^\circ$. Drugi kąt jest dopełnieniem do $180^\circ$.

Z $3BD=CD$ i $BC=12$ wynika $BD=3$, $CD=9$. W prostokątnym $DBE$, $ED=BD\sin60^\circ=3\sqrt3/2$. W trójkącie $ABD$ znamy $AB=12$, $BD=3$ i kąt $60^\circ$, więc $AD^2=12^2+3^2-2\cdot12\cdot3\cos60^\circ=117$. Stąd $AD=3\sqrt{13}$, a pozostałe kąty mają około $14^\circ$ i $106^\circ$.

Mamy $AB=6\sqrt2$. Środkowa z $A$ ma $m_a=\frac12\sqrt{2\cdot6^2+2(6\sqrt2)^2-6^2}=3\sqrt5$. Środek ciężkości dzieli ją w stosunku $2:1$, więc $AP=2\sqrt5$; symetrycznie $BP=2\sqrt5$. Z twierdzenia cosinusów $\cos\angle APB=-4/5$, zatem ten kąt ma około $143^\circ$, a dwa pozostałe po około $18^\circ30'$.

Przekątna podstawy ma $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$, a przekątna bryły $\sqrt{10+2^2}=\sqrt{14}$. Zatem $\cos\alpha=\sqrt{10}/\sqrt{14}=\sqrt{5/7}$, więc $\alpha\approx32^\circ$.

a) $BD=a\sqrt2$, $DD'=a$, $BD'=a\sqrt3$, więc obwód wynosi $a(1+\sqrt2+\sqrt3)$. Z $\tan\alpha=1/\sqrt2$ otrzymujemy kąty ostre około $35^\circ,55^\circ$. b) $DO=a\sqrt2/2$ i $D'O=\sqrt{a^2+a^2/2}=a\sqrt6/2$. Obwód wynosi $\frac a2(2+\sqrt2+\sqrt6)$, a stosunek przyprostokątnych jest ten sam, więc kąty ostre znów mają około $35^\circ,55^\circ$.