MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 190

a) Niech x będzie odległością bliższego punktu B od drzewa, a h wysokością. Mamy h=x\operatorname{tg}\beta=(x+20)\operatorname{tg}\alpha, więc h=\frac{20\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha}. b) Odcinek AB=40 jest linią nachyloną pod kątem \beta; jego rzut poziomy to 40\cos\beta. Różnica wysokości dwóch promieni widzenia wynosi 40\cos\beta[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta].

Odległości rzutu samolotu na ziemię od początku i końca pasa wynoszą odpowiednio 50\operatorname{ctg}30^\circ i 50\operatorname{ctg}10^\circ. Długość pasa jest ich różnicą.

Jeśli d jest poziomą odległością do początku pasa, to \operatorname{tg}4^\circ=\frac{2400}{d}.

W ciągu 2 minut samolot przebywa po torze drogę 80\cdot120=9600 m. Wysokość jest jej pionową składową: h=9600\sin15^\circ.

Niech x będzie poziomą odległością rzutu samolotu od punktu A, a h wysokością. Wtedy h=x\operatorname{tg}20^\circ=(x+400)\operatorname{tg}8^\circ. Po wyeliminowaniu x otrzymujemy h=\frac{400\operatorname{tg}20^\circ\operatorname{tg}8^\circ}{\operatorname{tg}20^\circ-\operatorname{tg}8^\circ}.

a) Odległości obserwatorów od podstawy komina wynoszą 20\operatorname{ctg}26^\circ i 20\operatorname{ctg}40^\circ. Gdy punkty leżą po tej samej stronie komina, odejmujemy; gdy po przeciwnych — dodajemy. b) Jeśli po zbliżeniu odległość wynosi x, to h=x\operatorname{tg}61^\circ=(x+50)\operatorname{tg}42^\circ; eliminujemy x.

Przy pierwszej obserwacji odległość pozioma łodzi od latarni wynosi d_1. Z \operatorname{tg}\alpha=\frac a{d_1} mamy d_1=a\operatorname{ctg}\alpha. Przy drugiej obserwacji analogicznie d_2=a\operatorname{ctg}\beta. Łódź płynie ku latarni, więc przebyta droga jest różnicą d_1-d_2.