MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 19

Podstawiamy $t=x^2\ge0$, rozwiązujemy równanie kwadratowe względem $t$, a następnie równania $x^2=t$. Odrzucamy ujemne wartości $t$. Kolejno pozostają:

a) $t=4,9$; b) brak nieujemnego $t$; c) $t=6$ (podwójnie); d) brak nieujemnego $t$; e) $t=3,4$; f) brak nieujemnego $t$; g) $t=\frac14,3$; h) $t=\frac19$; i) $t=\frac13,\frac12$.

W a–d przyjmujemy $t=x^3$, a w e–f $t=x^4\ge0$. Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem $t$ i wracamy do $x$:

a) $(t-1)(t-8)=0$; b) $(t-2)(t+1)=0$; c) $(t-8)(t+1)=0$; d) $(t-4)(t+8)=0$; e) $(t-16)(t+1)=0$; f) $t=2+2\sqrt7$ (drugi pierwiastek jest ujemny).

Podstawiamy $t=|x|\ge0$, więc $x^2=t^2$.

a) $(t-2)^2=0$, zatem $|x|=2$; b) $(t-2)(t-5)=0$, zatem $|x|=2$ lub $5$; c) $(t-6)(t+1)=0$, a warunek $t\ge0$ pozostawia $|x|=6$.

a) Dla $t=\sqrt x\ge0$ mamy $t^2+t-12=0$, więc $t=3$ i $x=9$.

b) Dziedzina: $x\ge2$. Dla $t=\sqrt{x-2}\ge0$ mamy $x=t^2+2$. Po podstawieniu do równania otrzymujemy $2t^2-5t+2=0$, więc $t=\frac12$ lub $2$ i $x=\frac94$ lub $6$.

c) Izolujemy pierwiastek: $\sqrt{x+1}=-5-6x$, więc prawa strona musi być nieujemna. Po podniesieniu do kwadratu i sprawdzeniu kandydatów pozostaje $x=-\frac89$.

a–b) Przyjmujemy $t=\sqrt[3]x\in\mathbb R$, wtedy $\sqrt[3]{x^2}=t^2$. a) $t(t-3)=0$, więc $t=0,3$. b) $t^2+2t-3=(t-1)(t+3)=0$, więc $t=1,-3$.

c) Przyjmujemy $t=\sqrt[4]x\ge0$. Wtedy $t^2-4t+4=(t-2)^2=0$, zatem $t=2$.