MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 187
rozdział 4. Trygonometria · temat „4.2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” · 8 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 2
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wpisujemy znane wartości z trójkątów szczególnych 30^\circ-60^\circ-90^\circ i 45^\circ-45^\circ-90^\circ.
Dla 30^\circ,45^\circ,60^\circ: \sin ma wartości \frac12,\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2}; \cos — \frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac12; \operatorname{tg} — \frac{\sqrt3}{3},1,\sqrt3.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 3
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Przekątna prostokąta ma długość \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5. Dla kąta naprzeciw boku 1 tworzymy ilorazy boków 1,2,\sqrt5; drugi kąt zamienia ich role.
\sin\alpha=\cos\beta=\frac{\sqrt5}{5}, \cos\alpha=\sin\beta=\frac{2\sqrt5}{5}, \operatorname{tg}\alpha=\operatorname{ctg}\beta=\frac12, \operatorname{ctg}\alpha=\operatorname{tg}\beta=2.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z twierdzenia Pitagorasa: x^2+(x+14)^2=26^2, czyli x^2+14x-240=0. Dodatni pierwiastek to x=10, więc przyprostokątne mają długości 10 i 24. Na rysunku kąt \alpha leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej.
a) 10 i 24; b) \sin\alpha=\cos\beta=\frac5{13}, \cos\alpha=\sin\beta=\frac{12}{13}, \operatorname{tg}\alpha=\operatorname{ctg}\beta=\frac5{12}, \operatorname{ctg}\alpha=\operatorname{tg}\beta=\frac{12}{5}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Przyjmijmy przyprostokątne a i 3a; przeciwprostokątna ma wtedy długość a\sqrt{10}. Skracamy a w odpowiednich ilorazach.
Dla kąta naprzeciw krótszej przyprostokątnej: (\sin,\cos,\operatorname{tg},\operatorname{ctg})=(\frac{\sqrt{10}}{10},\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac13,3); dla drugiego kąta wartości zamieniają się parami.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W każdym z dwóch trójkątów boki 9 i 10 są bokami równoległoboku. Ponieważ 10 jest przeciwprostokątną, przekątna ma długość \sqrt{10^2-9^2}=\sqrt{19}.
Dla kąta naprzeciw boku 9: (\sin,\cos,\operatorname{tg},\operatorname{ctg})=(\frac9{10},\frac{\sqrt{19}}{10},\frac{9\sqrt{19}}{19},\frac{\sqrt{19}}9); dla drugiego kąta wartości zamieniają się parami.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po opuszczeniu wysokości krótsza podstawa zostawia przy każdym ramieniu odcinek \frac{10-6}{2}=2. a) Rzut przekątnej na dłuższą podstawę ma długość 8, więc jej trójkąt ma boki 5,8,\sqrt{89}. b) Trójkąt przy ramieniu ma boki 5,2,\sqrt{29}.
a) (\sin,\cos,\operatorname{tg},\operatorname{ctg})=(\frac{5\sqrt{89}}{89},\frac{8\sqrt{89}}{89},\frac58,\frac85); b) (\frac{5\sqrt{29}}{29},\frac{2\sqrt{29}}{29},\frac52,\frac25).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Promień OB=1, a BD\perp OD, więc w trójkącie OBD mamy BD=\sin\alpha i DO=\cos\alpha. Prosta AC jest styczna w B; z podobieństwa odpowiednich trójkątów otrzymujemy długości odcinków stycznych BC=\operatorname{tg}\alpha i AB=\operatorname{ctg}\alpha. Punkt F jest odbiciem B względem prostej CO, więc także DF=BD.
a) BD i DF; b) DO; c) BC; d) AB.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 9
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Promień OB ma długość 1 i jest prostopadły do stycznej AC. W prostokątnym trójkącie CBO, dla kąta \alpha przy O, \cos\alpha=\frac{OB}{CO}=\frac1{CO}. Analogicznie w trójkącie ABO właściwy kąt ma miarę \alpha, więc \sin\alpha=\frac{OB}{AO}=\frac1{AO}.
|CO|=\frac1{\cos\alpha} oraz |AO|=\frac1{\sin\alpha}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu