MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 186
rozdział 4. Trygonometria · temat „4.2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” · 4 zadania z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W każdym podpunkcie wskazujemy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa. Dla kąta \alpha naprzeciw krótszej przyprostokątnej liczymy cztery ilorazy; dla drugiego kąta \beta sinus i cosinus oraz tangens i cotangens zamieniają się miejscami.
a) \sin\alpha=\cos\beta=\frac35, \cos\alpha=\sin\beta=\frac45, \operatorname{tg}\alpha=\operatorname{ctg}\beta=\frac34, \operatorname{ctg}\alpha=\operatorname{tg}\beta=\frac43; b) analogicznie \frac7{25},\frac{24}{25},\frac7{24},\frac{24}{7}; c) \frac{\sqrt{17}}{17},\frac{4\sqrt{17}}{17},\frac14,4; d) \frac14,\frac{\sqrt{15}}4,\frac{\sqrt{15}}{15},\sqrt{15}; e) \frac{\sqrt5}{5},\frac{2\sqrt5}{5},\frac12,2; f) \frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt6}{3},\frac{\sqrt2}{2},\sqrt2.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Ćwiczenie 2
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W trójkącie 30^\circ-60^\circ-90^\circ boki naprzeciw tych kątów mają proporcje 1:\sqrt3:2. Dla kąta 60^\circ dzielimy więc kolejno dłuższą przyprostokątną, krótszą przyprostokątną i ich ilorazy.
\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \cos60^\circ=\frac12, \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3, \operatorname{ctg}60^\circ=\frac{\sqrt3}{3}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Ćwiczenie 3
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla każdego trójkąta najpierw wskazujemy przeciwprostokątną, a następnie liczymy stosunek boku przeciwległego i przyległego do przeciwprostokątnej. Drugi kąt ostry zamienia rolami sinus z cosinusem oraz tangens z cotangensem.
a) dla kąta naprzeciw 5: (\sin,\cos,\operatorname{tg},\operatorname{ctg})=(\frac5{13},\frac{12}{13},\frac5{12},\frac{12}{5}); dla drugiego kąta wartości są zamienione. b) odpowiednio (\frac8{17},\frac{15}{17},\frac8{15},\frac{15}{8}) i wartości zamienione. c) odpowiednio (\frac13,\frac{2\sqrt2}{3},\frac{\sqrt2}{4},2\sqrt2) i wartości zamienione.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Ćwiczenie 4
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozpatrzmy dwa promienie jednostkowe tworzące z dodatnią półosią kąty \alpha<\beta. Rzut punktu na oś poziomą ma długość równą cosinusowi kąta. Dla większego kąta punkt leży wyżej, a jego rzut poziomy jest krótszy, zatem \cos\beta<\cos\alpha.
Jeśli \alpha<\beta<90^\circ, to \cos\alpha>\cos\beta.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu